Vi tegner grafen til $f(x)=x^5\cdot e^{-2x}$ på definisjonsområdet $⟨0,10⟩$ med graftegner.

Grafen starter nær $0$, stiger til et toppunkt like over $x=\mathrm{2,5}$, og avtar deretter mot $0$ når $x$ nærmer seg $10$.

Vi deriverer $f(x)=x^5\cdot e^{-2x}$ med produktregelen og kjerneregelen. Med $u(x)=x^5$ og $v(x)=e^{-2x}$ er $u^{\prime }(x)=5x^4$ og $v^{\prime }(x)=-2e^{-2x}$:

CAS bekrefter uttrykket og løser $f^{\prime }(x)=0$:

Løsningene er $x=0$ og $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$. Siden $x=0$ ikke er med i definisjonsområdet $⟨0,10⟩$, er $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ det eneste nullpunktet til $f^{\prime }$ i $D_f$.

For $x>0$ er både $x^4>0$ og $e^{-2x}>0$, så fortegnet til $f^{\prime }(x)$ er det samme som fortegnet til faktoren $(5-2x)$:

Fortegnslinja viser at $f^{\prime }(x)>0$ for $x<\mathrm{2,5}$ og $f^{\prime }(x)<0$ for $x>\mathrm{2,5}$. Da vokser $f$ opp til $x=\mathrm{2,5}$ og avtar etterpå, så $f$ har et toppunkt ved $x=\mathrm{2,5}$ og ikke noe bunnpunkt i $D_f$.

Toppunktet er $(\mathrm{2,5},\mathrm{0,66})$.

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=x^4(5-2x)e^{-2x}$ på nytt for å finne $f^{\prime \prime }(x)$, med produktregelen anvendt på $x^4(5-2x)=5x^4-2x^5$ og $e^{-2x}$:

CAS gir samme uttrykk og løser $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Løsningene er $x=0$ (utenfor $D_f$) og $x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{5}}{2}}$ (fra $x^2-5x+5=0$ med abc-formelen), altså

Siden $4x^3{e}^{-2x}>0$ for $x>0$, er fortegnet til $f^{\prime \prime }(x)$ det samme som fortegnet til $x^2-5x+5$. Dette er en oppovervendt parabel med nullpunkter i $x_1$ og $x_2$, så

Det betyr at $f^{\prime }$ vokser fram til $x_1$ (lokalt toppunkt for $f^{\prime }$), avtar fram til $x_2$ (lokalt bunnpunkt for $f^{\prime }$), og vokser igjen etter $x_2$. Ved randa av $D_f$ er $f^{\prime }(x)$ nær $0$ i begge ender (for eksempel $f^{\prime }(\mathrm{0,01})\approx \mathrm{0,00005}$ og $f^{\prime }(\mathrm{9,99})\approx -\mathrm{0,0003}$), altså mye nærmere $0$ enn verdien i $x_2$. Den minste verdien til $f^{\prime }(x)$ i hele $D_f$ er dermed det lokale bunnpunktet til $f^{\prime }$ ved $x_2$:

Punktet på grafen til $f$ der $f^{\prime }(x)$ er minst, er

Dette er vendepunktet der grafen til $f$ har brattest negativ stigning, altså der salget avtar raskest (se d).

Salgsmodellen er $g(x)=50\cdot f(x)$ for $x\in ⟨0,10⟩$, der $x$ er antall dager etter at varen ble lagt ut for salg.

Salget er størst når $g(x)$ har toppunkt, altså der $f(x)$ har toppunkt. Fra b) er dette ved $x=\mathrm{2,5}$:

Siden $x=\mathrm{2,5}$ ligger mellom dag 2 og dag 3, betyr det at salget er størst i løpet av tredje salgsdag, med et toppsalg på om lag $33$ enheter.

Salget øker mest der veksten $g^{\prime }(x)=50\cdot f^{\prime }(x)$ er størst, altså der $f^{\prime }(x)$ har sin største (mest positive) verdi. Fra fortegnslinja og drøftingen i c) vet vi at $f^{\prime }$ har et lokalt toppunkt ved $x_1={\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2}}\approx \mathrm{1,38}$:

Siden $x_1\approx \mathrm{1,38}$ ligger mellom dag 1 og dag 2, øker altså salget mest i løpet av andre salgsdag.

Svar: $\underline{\underline{\text{Salget er størst i løpet av dag 3, og øker mest i løpet av dag 2.}}}$