Valgresultat og binomisk sannsynlighet

Ved kommunevalget i 2023 stemte 11,3 % på Fremskrittspartiet. Vi skal plukke ut 10 tilfeldige personer som stemte ved valget.

Bestem sannsynligheten for at vi plukker ut minst 4 som stemte Fremskrittspartiet ved valget.

I en valgkrets var det totalt 243 som stemte. Bildet viser en oversikt over de fem partiene som fikk størst oppslutning i denne valgkretsen.

Også her skal vi plukke ut 10 tilfeldige personer blant dem som stemte.

Valgresultat i valgkrets

Bestem sannsynligheten for at vi plukker ut minst 4 som stemte Arbeiderpartiet ved valget. Husk å begrunne valget av metoden du bruker for å regne ut sannsynligheten.

Fasit

$\underline{\underline{P(X \geq 4) \approx 1{,}95 \,\%}}$

$\underline{\underline{P(Y \geq 4) \approx 65{,}0 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være antall av de 10 personene som stemte Fremskrittspartiet.

Vi trekker 10 tilfeldige personer fra hele landet, der $11{,}3\,\%$ stemte FrP. Siden populasjonen (alle som stemte ved valget) er svært stor i forhold til utvalget, er sannsynligheten tilnærmet konstant fra trekning til trekning. Derfor er $X$ binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0{,}113$ .

Vi ønsker $P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$ .

I GeoGebra CAS:

1 - \texttt{FordelingBinomial}(10;\; 0{,}113;\; 3;\; \text{true})

GeoGebra CAS – binomisk og hypergeometrisk

$P(X \geq 4) \approx \underline{\underline{1{,}95 \,\%}}$

Det er altså svært liten sannsynlighet for at minst 4 av de 10 stemte FrP.

I denne valgkretsen stemte 100 av 243 på Arbeiderpartiet. Vi trekker 10 personer uten tilbakelegging fra en avgrenset populasjon på 243 personer.

Begrunnelse for hypergeometrisk fordeling: Fordi populasjonen er liten ( $N = 243$ ) i forhold til utvalget ( $n = 10$ ), endres sannsynligheten for å trekke en Ap-velger for hvert nye trekk. Binomisk fordeling forutsetter konstant sannsynlighet og passer ikke her. Vi bruker derfor hypergeometrisk fordeling med

N = 243, \quad K = 100, \quad n = 10.

La $Y$ være antall av de 10 som stemte Arbeiderpartiet. Vi ønsker $P(Y \geq 4) = 1 - P(Y \leq 3)$ .

I GeoGebra CAS:

1 - \texttt{FordelingHypergeometrisk}(243;\; 100;\; 10;\; 3;\; \text{true})

(Se bildet over.)

$P(Y \geq 4) \approx \underline{\underline{65{,}0 \,\%}}$

Det er altså omtrent $65$ % sannsynlighet for at minst 4 av de 10 tilfeldige personene stemte Arbeiderpartiet i denne valgkretsen.

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som finner sannsynligheten for at akkurat 4 eller høyst 4 stemte Fremskrittspartiet kan få 1 poeng. Kandidaten trenger ikke å begrunne bruk av binomisk fordeling for å få 2 poeng.

2 poeng

Kandidater som begrunner godt størrelsen på utvalget i forhold til populasjonen, kan få 2 poeng med en binomisk løsning.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: sannsynlighet, diskrete sannsynlighetsfordelinger, statistikk
Kompetansemål: Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen