$\ln k$

Nei, da ville mange av leddene vært negative og $\ln x$ er kun definert for $x>0$.

$k=\frac{n-1}{n+1}$

[!løsningsforslag]- Løsningsforslag oppgave c

Vi vet at $0< k<1$ for at den uendelige rekka $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots$ skal gi en endelig sum, og leddene i følgen $b_{1},b_{2},\dots$ skal være definert. Tillegg vet jeg at

$$\begin{aligned} s&=1\\ \frac{a_{1}}{1-k} &= 1 \\ a_{1} &=1-k \end{aligned}$$

Hvert ledd i den geometriske rekka er gitt ved

$$a_{i}=a_{1} \cdot k^{i-1}$$

Leddene i den aritmetiske rekka blir altså

$$\begin{aligned} b_{i}&=\ln(a_{1} \cdot k^{i-1})\\ b_{i}&=\ln(a_{1})+ \ln(k^{i-1})\\ b_{i}&=\ln(a_{1})+ (i-1)\ln k \end{aligned}$$

La oss anse summen av rekka som en funksjon av $k$. Vi kan maksimere denne funksjonen, $s_{n}(k)$, ved å derivere den og sette lik 0. Vi finner derfor først et uttrykk for summen av rekka $s_{n}(k)$

$$\begin{aligned} s_{n}(k) &= \sum_{i=1}^{n}b_{i}\\ s_{n}(k) &= \sum_{i=1}^{n}\left( \ln a_{1} +(i-1)\ln k\right)\\ s_{n}(k) &= \sum_{i=1}^{n} \ln a_{1} + \sum_{i=1}^{n} (i-1)\ln k \\ s_{n}(k) &= n \cdot \ln a_{1} + \ln k \cdot \sum_{i=1}^{n} (i-1) \end{aligned}$$

Vi kjenner igjen $\sum_{i=1}^{n}(i-1)$ som en aritmetisk rekke med første ledd lik 0 og siste ledd lik $n-1$, vi kan derfor bruke formelen for sum av aritmetisk rekke. Vi kan også erstatte $a_{1}$ med $1-k$.

$$\begin{aligned} s_{n}(k) &= n \cdot \ln a_{1} + \ln k \cdot \frac{0+(n-1)}{2}\cdot n\\ s_{n}(k) &= n \cdot \ln a_{1} + \frac{\ln k}{2} \cdot (n^{2}-n)\\ s_{n}(k) &= n \cdot \ln (1-k) + \frac{\ln k}{2} \cdot (n^{2}-n)\\ \end{aligned}$$

Nå kan vi derivere med hensyn på $k$

$$\begin{aligned} s_{n}'(k) &= n \cdot \underset{ Kjerneregel }{ \frac{1}{1-k} \cdot (-1) } + \frac{1}{2} \frac{1}{k}(n^{2}-n)\\ s_{n}'(k) &= -\frac{n}{1-k}+\frac{1}{2k}(n^{2}-n) \end{aligned}$$

Vi setter uttrykket for den deriverte lik null for å finne en minimums- eller maksimumsverdi.

$$-\frac{n}{1-k}+\frac{1}{2k}(n^{2}-n)=0$$

Vi ganger med fellesnevneren $(1-k)(2k)$ for å forenkle uttrykket

$$\begin{aligned} \frac{-n(1-k)(2k)}{1-k}+\frac{(1-k)(2k)}{2k}(n^{2}-n) &= 0\\ -2nk+(1-k)(n^{2}-n) &= 0\\ -2nk + n^{2}-n -n^{2}k+nk &= 0\\ -2nk -n^{2}k+nk &= -n^{2}+n\\ -2k -nk+k &= -n+1\\ k(-2-n+1) &= -n+1\\ k(-n-1) &= -n+1\\ k &= \frac{-n+1}{-n-1} \\ k &= \frac{n-1}{n+1} \end{aligned}$$

Vi har funnet en verdi for $k$ som gir et stasjonært punkt for summen $s_{n}(k)$, men vi vet enda ikke om denne verdien gir et minimum, et maksimum eller et terrassepunkt. Vi gjennomfører en andrederiverttest ved å først dobbeltderivere

$$\begin{aligned} s_{n}''(k)&=\left( -\frac{n}{1-k} \right)'+ \left( \frac{1}{2k} \cdot (n^{2}-n) \right)'\\ s_{n}''(k)&=n\left( \frac{1}{(1-k)^{2}}\cdot(-1) \right) - \left( \frac{1}{2k^{2}} (n^{2}-n) \right) \\ s_{n}''(k)&= -\frac{n}{(1-k)^{2}}- \frac{n^{2}-n}{2k^{2}} \end{aligned}$$

Hvis $s_{n}''(k)$ er negativ for $k=\frac{n-1}{n+1}$ så er $s_{n}(k)$ konkav, og vår verdi for $k$ må være et toppunkt som gir en maksimumsverdi for summen. Vi setter inn for $k$ og analyserer.

$$\begin{aligned} -\frac{n}{\left( 1-\frac{n-1}{n+1} \right)^{2}} - \frac{n^{2}-n}{2\left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{2}}\\ \frac{-n}{\left( 1-\frac{n-1}{n+1} \right)^{2}} + \frac{-(n^{2}-n)}{2\left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{2}}\\ \end{aligned}$$

Det første leddet må være negativt siden $n$ er et positivt heltall. Det gjør at telleren i det første leddet er negativ, samtidig som nevneren alltid vil være positiv siden uttrykket i nevneren skal kvadreres.

Det andre leddet vil alltid være enten 0 (når $n=1$) eller negativt. Telleren i det andre leddet er 0 når $n=1$ og negativt så lenge $n\geq 1$ siden $n^{2}\geq n$. Nevneren i det andre leddet må alltid være positiv på grunn av kvadreringen.

Vi har altså enten to negative ledd, eller ett negativt ledd og et null-ledd, og summen av disse må være negativ. $s_{n}(k)$ er derfor konkav og $k=\frac{n-1}{(n+1)}$ må gi en maksimumsverdi.

Vi har vist at

$$\underline{\underline{k=\frac{n-1}{n+1}}}$$

maksimerer summen av

$$\sum_{i=1}^{n}b_{i}=\sum_{i=1}^{n} \ln a_{i}$$

når summen $\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}=1$.