Tunge kuler i kasse

I en kasse ligger det tre typer kuler. Disse veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Dersom vi trekker tilfeldig en kule, er sannsynligheten $\frac{1}{4}$ for at kulen veier 4 kg og $\frac{1}{2}$ for at den veier 5 kg.

Vis at $E(X)=6 \,\text{kg}$ . Regn ut variansen til $X$ .

Vi trekker tilfeldig en kule og legger den tilbake igjen. Dette gjør vi to ganger. La $X_{1}$ være vekten til den første kulen vi trekker, og $X_{2}$ vekten til den andre kulen vi trekker. La $Y=X_{1}+X_{2}$ .

Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $Y$ .

Bestem $P(Y>10)$ .

Fasit

$E(X)=6$ kg, $\text{Var}(X)=5{,}5$

Se LF

$\frac{7}{16}$

Løsningsforslag

Siden det kun er tre typer kuler så må sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg være

P(\text{10 kg})=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

Forventningsverdien er summen av produktene av sannsynlighet $\times$ verdi. Altså:

E(X)=\frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{2}\cdot 5 + \frac{1}{4} \cdot 10=\frac{2}{2}+\frac{5}{2}+\frac{5}{2} =\frac{12}{2}=6

For å finne variansen må vi finne differansen til gjennomsnittet for hver verdi, kvadrere denne differansen og multiplisere den med sannsynligheten for observasjonsverdien.

$x$	$E(x)-x$	$P(X=x)$	$(E(x)-x)^{2}\cdot P(X=x)$
4	2	$\frac{1}{4}$	$2^{2}\cdot \frac{1}{4}=1$
5	1	$\frac{1}{2}$	$1^{2}\cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$
10	4	$\frac{1}{4}$	$4^{2}\cdot \frac{1}{4}=4$
Sum			5,5

Jeg har vist at forventningsverdien er 6 kg og at variansen er 5,5 kg.

Valgtre til oppgave 1-5

Se valgtreet over. Jeg ser at utfallene for $Y=X_{1}+X_{2}$ er 8, 9, 10, 14, 15 og 20. Jeg bruker valgtreet til å beregne sannsynligheten for hvert utfall

$y$	$P(Y=y)$
8	$\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
9	$\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{4}$
10	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
14	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2=\frac{1}{8}$
15	$\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{4}$
20	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

$P(Y>10)$ betyr sannsynligheten for at $Y$ er større 10. Det stemmer når $Y=14$ , $Y=15$ og $Y=20$ .

P(Y>10)=P(Y=14)+P(Y=15)+P(Y=20)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{2+4+1}{16}=\underline{\underline{\frac{7}{16}}}

Sensorveiledning

Det gis 1 poeng for riktig forventningsverdi og 1 poeng for varians. Dersom forventningsverdien er gal og formel for varians er riktig, kan det gis 1 poeng.

Dersom det er riktige $Y$ -verdier men mindre feil i sannsynlighetene, kan det gis 1 poeng.

Dersom kandidaten regner ut $P(Y \geq 10)$ kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: sannsynlighet, diskrete sannsynlighetsfordelinger, forventningsverdi, varians
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler