Trekanttall og summer i Pascals trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekantfigur. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene $a_{1}$ , $a_{2}$ og $a_{3}$ .

De tre første trekanttallene illustrert med 1, 3 og 6 golfballer

$S_{n}$ er summen av de $n$ første trekanttallene.

For hånd

Skriv opp de seks første trekanttallene $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ , $a_{5}$ og $a_{6}$ og de fem første summene $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ og $S_{5}$ .

Nedenfor er et utsnitt av Pascals trekant. Skriv av dette utsnittet i besvarelsen din, og marker der de seks første trekanttallene og de fem første summene.

Utsnitt av Pascals trekant med radene 0 til 7

For hånd

Forklar at $a_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n$ . Bruk dette til å vise at $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

Oppsett for hånd

Bruk digitale hjelpemidler, og finn summen av de 50 første trekanttallene.

I Pascals trekant er $n$ -te rad gitt ved binomialkoeffisientene $(\binom{n}{0}) (\binom{n}{1}) (\binom{n}{2}) \dots (\binom{n}{n})$ .

For hånd

Bruk Pascals trekant og det du fant i a) til å forklare at

a_{n} = (\binom{n + 1}{2}) og S_{n} = (\binom{n + 2}{3})

Fasit

$a_{1}, \dots, a_{6} = 1, 3, 6, 10, 15, 21$ og $S_{1}, \dots, S_{5} = 1, 4, 10, 20, 35$

$a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$

$S_{50} = 22100$

$a_{n} = (\binom{n + 1}{2})$ og $S_{n} = (\binom{n + 2}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller golfballene i figuren, eller bruker at hvert trekanttall er det forrige pluss én ny rad:

\begin{matrix} a_{1} & = 1 \\ a_{2} & = 1 + 2 = 3 \\ a_{3} & = 1 + 2 + 3 = 6 \\ a_{4} & = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \\ a_{5} & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \\ a_{6} & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \end{matrix}

$S_{n}$ er summen av de $n$ første trekanttallene:

\begin{matrix} S_{1} & = a_{1} = 1 \\ S_{2} & = a_{1} + a_{2} = 1 + 3 = 4 \\ S_{3} & = a_{1} + a_{2} + a_{3} = 4 + 6 = 10 \\ S_{4} & = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 10 + 10 = 20 \\ S_{5} & = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 20 + 15 = 35 \end{matrix}

I Pascals trekant finner vi trekanttallene $a_{1}, \dots, a_{6}$ igjen som tredje tall (talt fra $(\binom{n}{0})$ , altså $(\binom{n}{2})$ ) i radene $2$ til $7$ , markert med ( ) under. Summene $S_{1}, \dots, S_{5}$ er fjerde tall ( $(\binom{n}{3})$ ) i radene $3$ til $7$ , markert med [ ]:

Rad 0:  1
Rad 1:  1  1
Rad 2:  1  2  (1)
Rad 3:  1  3  (3)  [1]
Rad 4:  1  4  (6)  [4]  1
Rad 5:  1  5  (10) [10]  5  1
Rad 6:  1  6  (15) [20] 15  6  1
Rad 7:  1  7  (21) [35] 35 21  7  1

Tallene i parentes er $1, 3, 6, 10, 15, 21$ — nettopp $a_{1}, \dots, a_{6}$ . Tallene i klammer er $1, 4, 10, 20, 35$ — nettopp $S_{1}, \dots, S_{5}$ .

Trekanttall $a_{n}$ er antall golfballer i en trekant med $n$ rader, der rad $k$ har $k$ baller ( $k = 1, 2, \dots, n$ ). Da er

a_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n .

Dette er en sum av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke med startverdi $a_{1} = 1$ , differanse $d = 1$ og siste ledd $n$ . Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n .

Her er $a_{1} = 1$ og det siste leddet er $n$ , så

a_{n} = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n (n + 1)}{2} .

a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}

Vi bruker et digitalt hjelpemiddel (GeoGebra CAS) til å summere $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ for $n = 1$ til $n = 50$ :

S_{50} = \sum_{n = 1}^{50} \frac{n (n + 1)}{2}

CAS-utregning av S_50

CAS gir $S_{50} = 22100$ .

$S_{50} = 22100$

Formelen for $a_{n}$ . I Pascals trekant er $n$ -te rad gitt ved $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), (\binom{n}{2}), \dots, (\binom{n}{n})$ . I a) så vi at trekanttallet $a_{n}$ står som tredje tall — altså $(\binom{n + 1}{2})$ — i rad $n + 1$ . Vi regner ut denne binomialkoeffisienten:

(\binom{n + 1}{2}) = \frac{(n + 1)!}{2! (n - 1)!} = \frac{(n + 1) \cdot n}{2} = \frac{n (n + 1)}{2} .

Dette er nøyaktig formelen vi fant for $a_{n}$ i b). Altså er

a_{n} = (\binom{n + 1}{2}) .

Formelen for $S_{n}$ . Konstruksjonsregelen i Pascals trekant er at hvert tall er summen av de to tallene rett over: $(\binom{m}{k}) = (\binom{m - 1}{k - 1}) + (\binom{m - 1}{k})$ . Med $m = n + 2$ og $k = 3$ gir dette

(\binom{n + 2}{3}) = (\binom{n + 1}{2}) + (\binom{n + 1}{3}) = a_{n} + (\binom{n + 1}{3}) . (*)

Vi viser $S_{n} = (\binom{n + 2}{3})$ ved induksjon på $n$ .

Startskritt ( $n = 1$ ): $S_{1} = a_{1} = 1$ , og $(\binom{1 + 2}{3}) = (\binom{3}{3}) = 1$ . Formelen stemmer.

Induksjonssteg: Anta at $S_{n - 1} = (\binom{n + 1}{3})$ for et tall $n \geq 2$ . Da er

S_{n} = S_{n - 1} + a_{n} = (\binom{n + 1}{3}) + (\binom{n + 1}{2}) \overset{(*)}{=} (\binom{n + 2}{3}),

der vi brukte $(*)$ (med $n$ i stedet for $n - 1$ ) i siste steg. Dermed stemmer formelen for $n$ også.

Ved induksjon gjelder $S_{n} = (\binom{n + 2}{3})$ for alle $n \geq 1$ , altså

S_{n} = (\binom{n + 2}{3}) .

Kontroll: for $n = 1, \dots, 5$ gir formelen $(\binom{3}{3}), (\binom{4}{3}), (\binom{5}{3}), (\binom{6}{3}), (\binom{7}{3}) = 1, 4, 10, 20, 35$ , som stemmer med $S_{1}, \dots, S_{5}$ fra a). For $n = 50$ gir formelen $(\binom{52}{3}) = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50}{6} = 22100$ , som stemmer med svaret i c).

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2009, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Figurtall, Pascals trekant, Tallfølger, Bevis

Trekanttall og summer i Pascals trekant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekanttall og summer i Pascals trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekanttall og summer i Pascals trekant

Trekanttall og summer i Pascals trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer