Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tall som kan skrives på formen $T_{n} = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n$ , kalles for trekanttall.

For hånd

Skriv opp de fem første trekanttallene.

Vi organiserer oddetallene i en talltrekant slik tabellen nedenfor viser.

$n$	$a_n$	$a_n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	1		1
2	3 + 5	8		9	$3^2$
3	7 + 9 + 11	27	$3^3$	36
4	13 + 15 + 17 + 19			100
5	21 + 23 + 25 + 27 + 29				$15^2$

For hånd

Skriv av og fyll ut tabellen. Bruk mønsteret som framkommer, til å finne en formel for $a_{n}$ .

For hånd

Bruk mønsteret til å forklare at vi kan skrive

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = {(1 + 2 + 3 + \dots + n)}^{2}

Fasit

$T_{1} = 1, T_{2} = 3, T_{3} = 6, T_{4} = 10, T_{5} = 15$

$a_{n} = n^{3}$

Se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

Trekanttallene er $T_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n$ . Vi regner opp de fem første:

T_{1} = 1, T_{2} = 1 + 2 = 3, T_{3} = 1 + 2 + 3 = 6, T_{4} = 10, T_{5} = 15

De fem første trekanttallene er $1, 3, 6, 10, 15$ .

Vi fyller inn tabellen og leser av mønsteret:

$n$	$a_{n}$	$a_{n}$	$a_{n}$	$S_{n}$	$S_{n}$
1	1	1	$1^{3}$	1	$1^{2}$
2	3 + 5	8	$2^{3}$	9	$3^{2}$
3	7 + 9 + 11	27	$3^{3}$	36	$6^{2}$
4	13 + 15 + 17 + 19	64	$4^{3}$	100	$10^{2}$
5	21 + 23 + 25 + 27 + 29	125	$5^{3}$	225	$15^{2}$

Mønsteret viser at $a_{n} = n^{3}$ .

Vi kan vise dette analytisk. Gruppe $n$ inneholder nøyaktig $n$ oddetall. Siden oddetallene i gruppe $n$ følger etter de $T_{n - 1} = \frac{n (n - 1)}{2}$ første oddetallene, begynner gruppe $n$ på oddetall nummer $T_{n - 1} + 1$ . Det $k$ -te oddetallet er $2 k - 1$ , så:

Første ledd i gruppe $n$ : $2 (\frac{n (n - 1)}{2} + 1) - 1 = n^{2} - n + 1$
Siste ledd i gruppe $n$ : $2 (\frac{n (n + 1)}{2}) - 1 = n^{2} + n - 1$

Summen av $n$ ledd i en aritmetisk følge med første ledd $n^{2} - n + 1$ og siste ledd $n^{2} + n - 1$ :

a_{n} = \frac{n \cdot [(n^{2} - n + 1) + (n^{2} + n - 1)]}{2} = \frac{n \cdot 2 n^{2}}{2} = n^{3}

$a_{n} = n^{3}$

Vi verifiserte dette i GeoGebra CAS (linje 3–4 i figuren under).

Fra tabellen ser vi at $S_{n}$ er summen av alle oddetallene i gruppe 1, 2, …, $n$ :

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}

Samtidig ser vi at $S_{n} = T_{n}^{2} = {(1 + 2 + \dots + n)}^{2}$ , fordi oddetallene i alle gruppene til og med gruppe $n$ er nøyaktig de $T_{n}$ første oddetallene $1, 3, 5, \dots, (2 T_{n} - 1)$ , og summen av de $T_{n}$ første oddetallene er alltid $T_{n}^{2}$ .

Mer presist: summen av de $m$ første oddetallene er $m^{2}$ (et kjent resultat). Siden gruppene 1 til $n$ til sammen inneholder $T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ oddetall, er

S_{n} = T_{n}^{2} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} = {(1 + 2 + \dots + n)}^{2}

Dermed:

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = {(1 + 2 + 3 + \dots + n)}^{2}

GeoGebra CAS bekrefter identiteten ved å forenkle differansen til $0$ (linje 5 i figuren):

GeoGebra CAS bekrefter a_n = n^3 og kubikksum-identiteten

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Her bør det være tilstrekkelig med flere talleksempler for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2012, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Figurtall, Rekker, Tallfølger, Bevis

Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Trekanttall og kubikksummer fra oddetall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer