Trekantmønster og programmering 2P-Y H25

Tre figurer med trekanter

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av pinner.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange pinner vil det være i figur 4?
Hvor mange pinner vil det være i figur 10?

Lag en formel for antallet pinner i figur $n$ .

Vivian har laget programmet nedenfor.

n = 0
total = 0

figur = 3
grense = 1000

while total <= grense:
    n = n + 1
    total = total + figur
    figur = figur + 2

print("Resultat:")
print(n)
print(total)

Resultat:
31
1023

Hva vil Vivian finne ut?
Hva forteller verdiene som skrives ut?
Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Figur 4: 9 pinner. Figur 10: 21 pinner

$f(n)=2n+1$

Vivian vil finne den minste figuren som har mer enn 1000 pinner totalt. Figur 31 har 1023 pinner totalt.

Løsningsforslag

Vi skal finne antall pinner i figur 4 og figur 10.

Framgangsmåte:

La oss først se på mønsteret:

Figur 1: 3 pinner (én trekant)
Figur 2: 5 pinner (3 + 2)
Figur 3: 7 pinner (5 + 2)

Vi ser at hver ny figur får 2 flere pinner enn den forrige.

Figur 4:

\text{Pinner i figur 4} = 7 + 2 = 9

Figur 10:

Vi kan fortsette mønsteret:

Figur 4: 9 pinner
Figur 5: 11 pinner
Figur 6: 13 pinner
Figur 7: 15 pinner
Figur 8: 17 pinner
Figur 9: 19 pinner
Figur 10: 21 pinner

Det vil være $\underline{\underline{9}}$ pinner i figur 4 og $\underline{\underline{21}}$ pinner i figur 10.

Vi skal lage en formel for antallet pinner i figur $n$ .

Framgangsmåte:

Vi ser at:

\begin{aligned} \text{Figur 1: } & 3 = 3 + 2 \cdot 0 = &&3 + 2(1-1) \\ \text{Figur 2: } &5 = 3 + 2 \cdot 1 = &&3 + 2(2-1) \\ \text{Figur 3: } &7 = 3 + 2 \cdot 2 = &&3 + 2(3-1) \\ \text{Figur }n: & &&3 + 2(n-1) \end{aligned}

Vi kan forenkle dette:

P(n) = 3 + 2(n-1) = 3 + 2n - 2 = 2n + 1

Formelen er $\underline{\underline{P(n) = 2n + 1}}$ .

Vi skal forklare hva programmet finner ut og hva verdiene som skrives ut betyr.

Analyse av programmet:

Programmet starter med:

n = 0 (figurnummer)
total = 0 (totalt antall pinner brukt)
figur = 3 (antall pinner i neste figur)
grense = 1000 (grensen for total)

I løkken:

n = n + 1: Går til neste figur
total = total + figur: Legger til pinnene fra denne figuren
figur = figur + 2: Neste figur får 2 flere pinner

Løkken fortsetter til total > 1000.

Resultat:

n = 31: Dette er figurnummeret
total = 1023: Dette er totalt antall pinner brukt

Programmet finner ut hvor mange figurer Vivian kan lage før hun har brukt over 1000 pinner totalt. Verdiene viser at etter å ha laget $\underline{\underline{31}}$ figurer har hun brukt $\underline{\underline{1023}}$ pinner totalt, som er første gang totalen overskrider 1000.

Sensorveiledning

To riktige svar uten begrunnelse gir 1 poeng. For å få full uttelling må svarene begrunnes. En riktig formel i oppgave b) gjelder som begrunnelse i oppgave a).

2,5 poeng

En riktig formel som ikke er gjort rede for, gir full uttelling.

2,5 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjør rede for at Vivian vil finne ut hvor mange figurer hun kan lage dersom hun har 1000 pinner og at hun kan lage 30 figurer dersom hun har 1000 pinner / at hun trenger 1023 pinner for å lage 31 figurer. En kandidat som gjør rede for ett av de to momentene, kan få 1 poeng. Mindre presise forklaringer kan også gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: rekker, programmering, figurtall
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Utforske korleis ulike premissar vil kunne påverke korleis matematiske problem frå samfunnsliv og arbeidsliv blir løyste