Tredjegradsfunksjon med vendetangent

Del 1 · oppgave 5
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon med vendetangent

Funksjonen ff er gitt ved

f(x)=x3−12x−16f(x) = x^3 - 12x - 16

Bestem koordinatene til toppunktet og bunnpunktet på grafen til ff.

Bestem koordinatene til vendepunktet og en likning for vendetangenten til grafen til ff.

Lag en skisse av grafen til ff sammen med vendetangenten.

Fasit

Toppunkt (−2,0)(-2, 0), bunnpunkt (2,−32)(2, -32)

Vendepunkt (0,−16)(0, -16), vendetangent y=−12x−16y = -12x - 16

Skisse

LøsningsforslagKI-generert
f(x)=x3−12x−16f(x) = x^3 - 12x - 16 f′(x)=3x2−12=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)

Vi setter f′(x)=0f'(x) = 0:

x=−2ellerx=2x = -2 \quad \text{eller} \quad x = 2

Vi bruker andrederiverten til å klassifisere:

f′′(x)=6xf''(x) = 6x
  • f′′(−2)=−12<0f''(-2) = -12 < 0: toppunkt i (−2,f(−2))=(−2,0)(-2, f(-2)) = (-2, 0)
  • f′′(2)=12>0f''(2) = 12 > 0: bunnpunkt i (2,f(2))=(2,−32)(2, f(2)) = (2, -32)

Vendepunktet er der f′′(x)=0f''(x) = 0:

6x=0  ⟹  x=06x = 0 \implies x = 0 f(0)=0−0−16=−16f(0) = 0 - 0 - 16 = -16

Vendepunktet er (0,−16)(0, -16).

Vendetangenten har stigningstall f′(0)f'(0):

f′(0)=3⋅0−12=−12f'(0) = 3 \cdot 0 - 12 = -12

Likningen for vendetangenten:

y−(−16)=−12(x−0)  ⟹  y=−12x−16‾‾y - (-16) = -12(x - 0) \implies \underline{\underline{y = -12x - 16}}

Grafen til ff har:

  • Nullpunkt i x=−2x = -2 (dobbelt, toppunkt) og x=4x = 4
  • Toppunkt i (−2,0)(-2, 0)
  • Bunnpunkt i (2,−32)(2, -32)
  • Vendepunkt i (0,−16)(0, -16)

Vendetangenten y=−12x−16y = -12x - 16 skjærer grafen i vendepunktet og har stigningstall −12-12.

Oppgavedata
Poeng
6
Temaer
funksjonsdrøfting, derivasjon
Kompetansemål
  • Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon