Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 4)

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = -2 \cdot f(x) + 3

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

Toppunkt $(1, 0)$ , bunnpunkt $(3, -4)$

Vendepunkt $(2, -2)$

Se løsningsforslag

Toppunkt $(3, 11)$ , bunnpunkt $(1, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider $f(x)$ :

f(x) = (x-1)^2(x-4) = (x^2 - 2x + 1)(x - 4) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4

Deriverer:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

Setter $f'(x) = 0$ : $x = 1$ eller $x = 3$ .

Fortegnslinje for $f'(x)$ :

$x$	$x < 1$	$x = 1$	$1 < x < 3$	$x = 3$	$x > 3$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	stiger		synker		stiger

$f(1) = 0$ : Toppunkt $\underline{\underline{(1, 0)}}$
$f(3) = (3-1)^2(3-4) = 4 \cdot (-1) = -4$ : Bunnpunkt $\underline{\underline{(3, -4)}}$

f''(x) = 6x - 12 = 0 \implies x = 2

$f''$ skifter fortegn i $x = 2$ (fra negativ til positiv), så dette er et vendepunkt.

f(2) = (2-1)^2(2-4) = 1 \cdot (-2) = -2

Vendepunkt $\underline{\underline{(2, -2)}}$

Grafen krysser $x$ -aksen i $x = 1$ (dobbeltrot) og $x = 4$ . Vi har toppunkt $(1, 0)$ , bunnpunkt $(3, -4)$ og vendepunkt $(2, -2)$ .

Siden $g(x) = -2 \cdot f(x) + 3$ , er grafen til $g$ en speiling av $f$ om $x$ -aksen, strukket med faktor 2, og flyttet 3 opp. De stasjonære punktene har samme $x$ -verdier:

$f$ har toppunkt i $x = 1 \implies g$ har bunnpunkt: $g(1) = -2 \cdot 0 + 3 = 3$ . Bunnpunkt $\underline{\underline{(1, 3)}}$
$f$ har bunnpunkt i $x = 3 \implies g$ har toppunkt: $g(3) = -2 \cdot (-4) + 3 = 11$ . Toppunkt $\underline{\underline{(3, 11)}}$

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: funksjonsdrøfting, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon