Torskefileter i poser

Caroline driver et cateringfirma og kjøper ofte poser med frosne torskefileter. La $X$ være antall torskefileter i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	5	6	7	8	9
$P(X = k)$	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Regn ut forventningsverdien til $X$ . Hva forteller dette svaret?

Vis at variansen til $X$ er 1,2.

La $S$ være det totale antallet torskefileter i 120 tilfeldig valgte poser. Vi antar at antall torskefileter i de ulike posene er uavhengig av hverandre.

Begrunn at $\text{E}(S) = 840$ , og at $\text{Var}(S) = 144$ .

En uke trenger Caroline 822 torskefileter. Hun bestiller derfor 120 poser.

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at Caroline får nok torskefileter denne uken.

Fasit

$\text{E}(X) = 7$

$\text{Var}(X) = 1{,}2$

$\text{E}(S) = 840$ , $\text{Var}(S) = 144$

$P(S \geq 822) \approx 0{,}933$

LøsningsforslagKI-generert

\text{E}(X) = 5 \cdot 0{,}1 + 6 \cdot 0{,}2 + 7 \cdot 0{,}4 + 8 \cdot 0{,}2 + 9 \cdot 0{,}1

= 0{,}5 + 1{,}2 + 2{,}8 + 1{,}6 + 0{,}9 = \underline{\underline{7}}

Forventningsverdien forteller at man i gjennomsnitt får 7 torskefileter per pose.

\text{E}(X^2) = 25 \cdot 0{,}1 + 36 \cdot 0{,}2 + 49 \cdot 0{,}4 + 64 \cdot 0{,}2 + 81 \cdot 0{,}1

= 2{,}5 + 7{,}2 + 19{,}6 + 12{,}8 + 8{,}1 = 50{,}2

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 50{,}2 - 49 = 1{,}2

$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{120}$ , der $X_i$ er uavhengige med samme fordeling som $X$ .

\text{E}(S) = 120 \cdot \text{E}(X) = 120 \cdot 7 = 840

\text{Var}(S) = 120 \cdot \text{Var}(X) = 120 \cdot 1{,}2 = 144

Siden $S$ er summen av 120 uavhengige, identisk fordelte stokastiske variabler og $n = 120 \geq 30$ , følger det av sentralgrensesetningen at $S$ er tilnærmet normalfordelt med $\text{E}(S) = 840$ og $\text{SD}(S) = \sqrt{144} = 12$ .

P(S \geq 822) = P\left(Z \geq \frac{822 - 840}{12}\right) = P(Z \geq -1{,}5) = P(Z \leq 1{,}5) \approx \underline{\underline{0{,}933}}

Det er ca. 93 % sannsynlighet for at Caroline får nok torskefileter.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: forventningsverdi, varians, normalfordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler