Vi har $f(x) = 4x^2 \cdot \ln x$ definert for $x > 0$. Deriverer med produktregelen:

$$f'(x) = 8x \cdot \ln x + 4x^2 \cdot \frac{1}{x} = 8x\ln x + 4x = 4x(2\ln x + 1)$$

For $x > 0$ er $4x > 0$ alltid, så $f'(x) = 0$ krever:

$$2\ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$$

Fortegnsskjema for $f'(x)$:

$x$	$0$		$\dfrac{1}{\sqrt{e}}$		$\to$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\searrow$	bunn	$\nearrow$

$f'$ skifter fortegn fra $-$ til $+$, så det er et bunnpunkt.

Funksjonsverdien:

$$f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{e}$$

Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $\underline{\underline{\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\; -\dfrac{2}{e}\right)}}$.