Topp- og bunnpunkter med ln

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 4 x^{2} \cdot \ln x

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Fasit

Bunnpunkt: $(\frac{1}{\sqrt{e}}, - \frac{2}{e})$

Løsningsforslag

Vi har $f (x) = 4 x^{2} \cdot \ln x$ definert for $x > 0$ . Deriverer med produktregelen:

f^{'} (x) = 8 x \cdot \ln x + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 8 x \ln x + 4 x = 4 x (2 \ln x + 1)

For $x > 0$ er $4 x > 0$ alltid, så $f^{'} (x) = 0$ krever:

2 \ln x + 1 = 0 ⟹ \ln x = - \frac{1}{2} ⟹ x = e^{- 1 / 2} = \frac{1}{\sqrt{e}}

Fortegnsskjema for $f^{'} (x)$ :

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

$f^{'}$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ , så det er et bunnpunkt.

Funksjonsverdien:

f (\frac{1}{\sqrt{e}}) = 4 \cdot \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{e}

Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(\frac{1}{\sqrt{e}}, - \frac{2}{e})$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for å derivere riktig og 1 poeng for å finne koordinatene.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2025, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjoner, Logaritmer
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Innstillinger