Tomatfrø og normalfordeling

Et gartneri selger poser med tomatfrø. La $X$ være antall tomatfrø i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	6	7	8	9	10
$P(X = k)$	0,1	0,1	0,6	0,1	0,1

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ , og vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = 1$ . Hva forteller $\text{E}(X)$ oss?

Eline ønsker å kjøpe 49 slike frøposer. Posene vil hun nummerere fra 1 til 49. La $X_i$ være antall frø i pose nummer $i$ . Vi antar at $X_i$ -ene er uavhengige av hverandre. Det totale antallet frø i de 49 posene er gitt ved den stokastiske variabelen

S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{49}

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt. Vis at $\text{E}(S) = 392$ og $\text{SD}(S) = 7{,}0$ .

Eline har et drivhus der hun har plass til 400 potter som hun vil plante frøene i.

Bestem sannsynligheten for at Eline får nok frø til alle pottene sine.

Fasit

$\text{E}(X) = 8$ , $\text{SD}(X) = 1$

$\text{E}(S) = 392$ , $\text{SD}(S) = 7{,}0$

$P(S \geq 400) \approx 0{,}1265$

LøsningsforslagKI-generert

\text{E}(X) = \sum k \cdot P(X = k) = 6 \cdot 0{,}1 + 7 \cdot 0{,}1 + 8 \cdot 0{,}6 + 9 \cdot 0{,}1 + 10 \cdot 0{,}1

= 0{,}6 + 0{,}7 + 4{,}8 + 0{,}9 + 1{,}0 = \underline{\underline{8}}

$\text{E}(X) = 8$ forteller oss at det i gjennomsnitt er 8 tomatfrø i en pose.

Vi beregner variansen:

\text{E}(X^2) = 6^2 \cdot 0{,}1 + 7^2 \cdot 0{,}1 + 8^2 \cdot 0{,}6 + 9^2 \cdot 0{,}1 + 10^2 \cdot 0{,}1

= 3{,}6 + 4{,}9 + 38{,}4 + 8{,}1 + 10{,}0 = 65

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 65 - 64 = 1

\underline{\underline{\text{SD}(X) = \sqrt{1} = 1}}

$S$ er summen av 49 uavhengige, identisk fordelte stokastiske variable. Ifølge sentralgrenseteoremet er $S$ tilnærmet normalfordelt når $n$ er tilstrekkelig stor. Med $n = 49$ er tilnærmingen god.

\text{E}(S) = 49 \cdot \text{E}(X) = 49 \cdot 8 = \underline{\underline{392}}

\text{Var}(S) = 49 \cdot \text{Var}(X) = 49 \cdot 1 = 49

\underline{\underline{\text{SD}(S) = \sqrt{49} = 7{,}0}}

Eline trenger minst 400 frø, så vi skal finne $P(S \geq 400)$ .

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 392$ og $\sigma = 7$ .

z = \frac{400 - 392}{7} = \frac{8}{7} \approx 1{,}14

P(S \geq 400) = 1 - \Phi(1{,}14) \approx 1 - 0{,}8735

\underline{\underline{P(S \geq 400) \approx 0{,}1265}}

Det er ca. 12,7 % sannsynlighet for at Eline får nok frø til alle 400 pottene.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: forventningsverdi, standardavvik, normalfordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler