Tolke fuglebestand i Python-kode 1P V26

I 2026 består en fuglebestand av $20\,000$ individer. Sofie er forsker. Hun antar at bestanden vil minke de kommende årene. Hun har laget to modeller og skrevet programkoden nedenfor.

x = 0       # x er antall år etter 2026

def f(x):
    return 20000 - 300 * x

def g(x):
    return 20000 * 0.984 ** x

while f(x) >= g(x):
    x = x + 1

print("Resultat:")
print(x)
print(f(x))
print(g(x))

Resultat:
10
17000
17020.83963620087

Gi en praktisk tolkning av modellene $f$ og $g$ .

Hva ønsker Sofie å finne ut? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?

Fasit

$f$ er en lineær modell der bestanden minker med $\underline{\underline{300 \text{ individer per år}}}$ . $g$ er en eksponentiell modell der bestanden minker med $\underline{\underline{1{,}6 \,\%\text{ per år}}}$ .

Sofie ønsker å finne det første året der den eksponentielle modellen gir større bestand enn den lineære. Svaret er $\underline{\underline{x = 10}}$ , dvs. i år $\underline{\underline{2036}}$ , da er $f(10) = 17\,000$ og $g(10) \approx 17\,021$ .

LøsningsforslagKI-generert

Modellen $f(x) = 20\,000 - 300x$ er en lineær modell.

$x$ er antall år etter 2026. For hvert år som går, trekker vi fra $300$ individer. Bestanden minker altså med et konstant antall på $300$ individer per år, uansett hvor stor bestanden er.

Modellen $g(x) = 20\,000 \cdot 0{,}984^x$ er en eksponentiell modell.

Vekstfaktoren er $0{,}984$ . Siden $0{,}984 = 1 - 0{,}016$ , betyr dette at bestanden minker med $1{,}6 \,\%$ per år. Nedgangen regnes av den nåværende bestanden, slik at antall individer som forsvinner blir stadig færre etter hvert som bestanden krymper.

Begge modellene starter på $20\,000$ individer i 2026 (når $x = 0$ ).

Hva ønsker Sofie å finne ut?

Sofie ønsker å finne ut hvilket år den eksponentielle modellen $g$ for første gang gir en høyere bestand enn den lineære modellen $f$ . Med andre ord: når «henter» $g$ inn igjen $f$ ?

Slik fungerer while-løkken:

Løkken starter med $x = 0$ og øker $x$ med $1$ for hvert steg, så lenge $f(x) \geq g(x)$ . Den stopper første gang $g(x) > f(x)$ .

I starten (ved $x = 0$ ) er begge modellene like: $f(0) = g(0) = 20\,000$ . De første årene synker $f$ raskere enn $g$ i absolutt antall, fordi $300$ av $20\,000$ tilsvarer $1{,}5 \,\%$ per år – altså et litt større prosentfall enn $g$ s $1{,}6 \,\%$ per år. Etter hvert som bestanden ifølge $g$ krymper, krymper også det absolutte fallet i $g$ – mens $f$ fortsetter å falle med nøyaktig $300$ hvert år. Derfor vil $g$ til slutt «passere» $f$ ovenfra.

Hva forteller utskriften?

Resultat:
10
17000
17020.83963620087

$x = 10$ : det skjer 10 år etter 2026, altså i år 2036
$f(10) = 17\,000$ : den lineære modellen gir $17\,000$ individer i 2036
$g(10) \approx 17\,021$ : den eksponentielle modellen gir omtrent $17\,021$ individer i 2036

Fra og med 2036 forutsier den eksponentielle modellen en større fuglebestand enn den lineære modellen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: programmering, lineær funksjon, eksponentialfunksjon, modellering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane