La $E$ være antall øyne Erik kaster ($E$ er uniformt fordelt på $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$) og la $M = \max(K_1, K_2)$ der $K_1$ og $K_2$ er de to D4-terningene til Kris (hver uniformt fordelt på $\{1, 2, 3, 4\}$).

Erik vinner runden hvis $E > M$.

Fordeling av $M$:

Vi bruker at $P(M \leq k) = P(K_1 \leq k) \cdot P(K_2 \leq k) = \left(\dfrac{k}{4}\right)^2$, siden $K_1$ og $K_2$ er uavhengige.

Dermed er $P(M = k) = P(M \leq k) - P(M \leq k-1) = \dfrac{k^2 - (k-1)^2}{16} = \dfrac{2k - 1}{16}$.

Table: Sannsynlighetsfordeling for $M$ {.tall}

Beregning av $P(E > M)$:

Vi betinger på verdien av $M$ og bruker at $P(E > k) = \dfrac{6 - k}{6}$:

$P(\text{Erik vinner runden}) = \dfrac{23}{48} \approx 47{,}9 \,\%$

Siden $p = \frac{23}{48} < \frac{1}{2}$ (Erik er svakere enn Kris i hver runde), forventer vi at Erik sjeldnere når 100 poeng først. Vi estimerer sannsynligheten med en Monte Carlo-simulering.

Python-kode:

from random import randint

N = 100_000              # antall spill vi simulerer
erik_vinner_spillet = 0  # teller spill Erik vinner

for _ in range(N):
    erik_poeng = 0
    kris_poeng = 0

    # Spill runder til en av dem når 100 poeng
    while erik_poeng < 100 and kris_poeng < 100:
        erik = randint(1, 6)                       # Eriks D6
        kris = max(randint(1, 4), randint(1, 4))   # Kris' høyeste D4
        if erik > kris:
            erik_poeng += 1
        else:                                      # likt gir Kris poeng
            kris_poeng += 1

    if erik_poeng >= 100:    # den som når 100 først, vinner
        erik_vinner_spillet += 1

print(f"P(Erik når 100 poeng først) ≈ {erik_vinner_spillet / N:.4f}")

Vi spiller $100\,000$ hele spill. For hvert spill kaster vi terninger runde for runde og deler ut poeng etter reglene, helt til en av spillerne når 100 poeng. Den som kommer først til 100, har alltid flest poeng, så vi teller bare opp hvor stor andel av spillene Erik vinner. Siden Erik vinner hver enkelt runde med sannsynlighet $\frac{23}{48} < \frac12$, forventer vi at andelen blir tydelig under 50 %.

Resultat: Med 100 000 simulerte spill (seed 42) fikk vi P ≈ 0.2778.

$P(\text{Erik når 100 poeng før Kris}) \approx 27{,}8 \,\%$