Terningspill med simulering S1 V26

Erik og Kris spiller et terningspill. Spillet foregår over flere runder. Nedenfor ser du reglene som gjelder for én runde.

Erik kaster en terning med seks sider, nummerert med sifrene 1 til 6.
Kris kaster to terninger. Hver terning har fire sider, nummerert med sifrene 1 til 4.
Erik sammenligner sin terning med den terningen til Kris som viser høyest verdi. Dersom terningen til Erik viser en høyere verdi, får han 1 poeng. Dersom terningen til Erik ikke viser en høyere verdi, får Kris 1 poeng.

Bestem sannsynligheten for at Erik får poeng i den første runden de spiller.

Erik og Kris spiller flere runder.

Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at Erik får 100 poeng før Kris.

Fasit

$\underline{\underline{P(\text{Erik vinner runde}) = \dfrac{23}{48} \approx 47{,}9 \,\%}}$

Simulering med 100 000 spill gir $\underline{\underline{P(\text{Erik når 100 poeng før Kris}) \approx 27{,}8 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

La $E$ være antall øyne Erik kaster ( $E$ er uniformt fordelt på $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ) og la $M = \max(K_1, K_2)$ der $K_1$ og $K_2$ er de to D4-terningene til Kris (hver uniformt fordelt på $\{1, 2, 3, 4\}$ ).

Erik vinner runden hvis $E > M$ .

Fordeling av $M$ :

Vi bruker at $P(M \leq k) = P(K_1 \leq k) \cdot P(K_2 \leq k) = \left(\dfrac{k}{4}\right)^2$ , siden $K_1$ og $K_2$ er uavhengige.

Dermed er $P(M = k) = P(M \leq k) - P(M \leq k-1) = \dfrac{k^2 - (k-1)^2}{16} = \dfrac{2k - 1}{16}$ .

Table: Sannsynlighetsfordeling for $M$ {.tall}

$k$	$P(M = k)$
1	$\dfrac{1}{16}$
2	$\dfrac{3}{16}$
3	$\dfrac{5}{16}$
4	$\dfrac{7}{16}$

Beregning av $P(E > M)$ :

Vi betinger på verdien av $M$ og bruker at $P(E > k) = \dfrac{6 - k}{6}$ :

\begin{aligned} P(E > M) &= \sum_{k=1}^{4} P(M = k) \cdot P(E > k) \\[6pt] &= \frac{1}{16} \cdot \frac{5}{6} + \frac{3}{16} \cdot \frac{4}{6} + \frac{5}{16} \cdot \frac{3}{6} + \frac{7}{16} \cdot \frac{2}{6} \\[6pt] &= \frac{5}{96} + \frac{12}{96} + \frac{15}{96} + \frac{14}{96} = \frac{46}{96} = \frac{23}{48} \end{aligned}

$P(\text{Erik vinner runden}) = \dfrac{23}{48} \approx 47{,}9 \,\%$

Siden $p = \frac{23}{48} < \frac{1}{2}$ (Erik er svakere enn Kris i hver runde), forventer vi at Erik sjeldnere når 100 poeng først. Vi estimerer sannsynligheten med en Monte Carlo-simulering.

Python-kode:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
N = 100_000
erik_vinner_spillet = 0

for _ in range(N):
    erik_poeng = 0
    kris_poeng = 0
    while erik_poeng < 100 and kris_poeng < 100:
        e = rng.integers(1, 7)          # D6: 1–6
        m = max(rng.integers(1, 5),     # max av to D4: 1–4
                rng.integers(1, 5))
        if e > m:
            erik_poeng += 1
        else:
            kris_poeng += 1
    if erik_poeng >= 100:
        erik_vinner_spillet += 1

print(f"P(Erik når 100 poeng først) ≈ {erik_vinner_spillet / N:.4f}")

Resultat: Med 100 000 simulerte spill (seed 42) fikk vi P ≈ 0.2778.

$P(\text{Erik når 100 poeng før Kris}) \approx 27{,}8 \,\%$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: sannsynlighet, simulering, programmering
Kompetansemål: Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen