T-skjorter, inntekt og overskudd

En bedrift produserer og selger T-skjorter. Prisen $p(x)$ kroner per T-skjorte ved produksjon og salg av $x$ T-skjorter per uke er gitt ved

p(x) = -0{,}001x^2 + 0{,}2x + 100

De totale kostnadene $K(x)$ kroner per uke er gitt ved

K(x) = 0{,}1x^2 + 8000

Bestem den største mulige inntekten bedriften kan få per uke.

Bestem det største mulige overskuddet bedriften kan få per uke.

Bedriften ønsker å gjennomføre en kampanje hvor de en uke donerer 30 kroner per solgte T-skjorte til veldedighet.

Bestem det største antallet T-skjorter bedriften kan produsere og selge i en uke med kampanje uten å gå med underskudd.

Fasit

Største inntekt: $\underline{\underline{I \approx 21\,945 \, \mathrm{kr/uke}}}$ ved $x = 261$ T-skjorter.

Største overskudd: $\underline{\underline{O \approx 8\,193 \, \mathrm{kr/uke}}}$ ved $x = 219$ T-skjorter.

Bedriften kan selge maks $\underline{\underline{251 \text{ T-skjorter}}}$ uten å gå med underskudd.

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer inntektsfunksjonen og overskuddsfunksjonen:

I(x) = x \cdot p(x) = -0{,}001x^3 + 0{,}2x^2 + 100x

O(x) = I(x) - K(x) = -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 + 100x - 8000

Vi løser alle deloppgavene i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – inntekt, overskudd og kampanje

For å finne største inntekt setter vi $I'(x) = 0$ og løser:

I'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}4x + 100 = 0

GeoGebra CAS (linje 7) gir $x \approx 261$ (positiv løsning).

Vi sjekker at dette er et maksimum: $I''(x) = -0{,}006x + 0{,}4$ , og $I''(261) = -0{,}006 \cdot 261 + 0{,}4 \approx -1{,}2 < 0$ — bekrefter maksimum.

GeoGebra CAS (linje 8): $I(261) \approx 21\,945 \, \mathrm{kr}$ .

Den største mulige inntekten er $\underline{\underline{I \approx 21\,945 \, \mathrm{kr/uke}}}$ ved produksjon og salg av 261 T-skjorter.

For å finne største overskudd setter vi $O'(x) = 0$ og løser:

O'(x) = -0{,}003x^2 + 0{,}2x + 100 = 0

GeoGebra CAS (linje 10) gir $x \approx 219$ (positiv løsning).

GeoGebra CAS (linje 11): $O(219) \approx 8\,193 \, \mathrm{kr}$ .

Det største mulige overskuddet er $\underline{\underline{O \approx 8\,193 \, \mathrm{kr/uke}}}$ ved produksjon og salg av 219 T-skjorter.

Med kampanje doneres 30 kr per solgte T-skjorte, slik at overskuddsfunksjonen blir:

O_k(x) = I(x) - K(x) - 30x = -0{,}001x^3 + 0{,}1x^2 + 70x - 8000

Vi vil finne det største antallet T-skjorter $x$ der $O_k(x) \geq 0$ , dvs. vi løser $O_k(x) = 0$ .

GeoGebra CAS (linje 12) gir røttene $x \approx -269{,}6$ , $x \approx 117{,}8$ og $x \approx 251{,}8$ .

Den største positive røtten er $x \approx 251{,}8$ . Vi sjekker: $O_k(251) \approx 57 > 0$ og $O_k(252) \approx -13 < 0$ .

Bedriften kan produsere og selge maks $\underline{\underline{251 \text{ T-skjorter}}}$ i kampanjeuken uten å gå med underskudd.

Sensorveiledning

2 poeng

En god strategi som ikke fører til svaret, kan gi 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som finner $x$ -verdien men ikke regner ut overskuddet kan få 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som har feil avrunding i svaret kan få 2 poeng, men det kan tas med i helhetsvurderingen. En god strategi som ikke fører til riktig svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: økonomi, derivasjon, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett