Summen av repeterende brøker

Finn summen.

\left( 1-\frac{1}{5} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{7} \right)+ \dots + \left( \frac{1}{996}-\frac{1}{1000} \right)

Tips

For å løse oppgaven for hånd bør du skrive opp noen flere ledd enn hva du ser foreløpig. Se etter muligheter til å forkorte bort ledd.

Fasit

Løsning med CAS Vi kan lage en eksplisitt formel for ledd nr. $i$ på denne måten: $a_{i}=\left( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+4} \right)$ Vi kan finne summen av denne rekka fra $i=1$ til $i=996$ ved hjelp av CAS: Sum(((1)/(i))-((1)/(i+4)),i,1,996) Løsning for hånd Vi kan fortsette rekka og legge til et par ekstra ledd. Da vil vi se at enkelte ledd kan strykes mot hverandre, og den resulterende rekka vil bli mye enklere.

\begin{aligned} \left( 1-\frac{1}{5} \right) &+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{7} \right)+ \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{5}-\frac{1}{9} \right) + \dots + \left( \frac{1}{996}-\frac{1}{1000} \right) \\ \left( 1-\cancel{ \frac{1}{5} } \right)&+\left( \frac{1}{2}-\cancel{ \frac{1}{6} } \right) + \left( \frac{1}{3}-\cancel{ \frac{1}{7} } \right)+ \left( \frac{1}{4}-\cancel{ \frac{1}{8} } \right) + \left( \frac{1}{5}-\cancel{ \frac{1}{9} } \right) + \dots + \left( \cancel{ \frac{1}{996} }-\frac{1}{1000} \right) \\ 1&+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{997}-\frac{1}{998}-\frac{1}{999}-\frac{1}{1000} \end{aligned}

Løsningsforslag

Hvert ledd i summen kan skrives som $a_i = \dfrac{1}{i} - \dfrac{1}{i+4}$ , der $i$ løper fra $1$ til $996$ .

Vi skriver ut de første og siste leddene for å se den teleskopiske strukturen:

S = \left(1 - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{9}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{996} - \frac{1}{1000}\right)

Fordi hvert positivt ledd $\frac{1}{k}$ for $k \geq 5$ kanselleres av et negativt ledd $-\frac{1}{k}$ fra et tidligere ledd, gjenstår bare fire positive og fire negative ytterledd:

S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{997} - \frac{1}{998} - \frac{1}{999} - \frac{1}{1000}

De fire første leddene gir

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12}{12} + \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{25}{12}

Vi bruker CAS til å beregne sluttsvaret eksakt:

CAS-beregning av summen

S = \frac{25}{12} - \left(\frac{1}{997} + \frac{1}{998} + \frac{1}{999} + \frac{1}{1000}\right) = \frac{1033437107753}{497005497000} \approx 2{,}0793

Summen er $\underline{\underline{\dfrac{1033437107753}{497005497000} \approx 2{,}0793}}$ .

Oppgavedata

Temaer: rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker