Størst mulig areal med 140 meter gjerde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bonde vil lage et rektangulært område av et 140 m langt gjerde. Han vil at arealet av området skal bli størst mulig.

Først tenker bonden seg to ulike måter å lage området på:

Område 1 er et inngjerdet rektangel på 20 m og 50 m, område 2 er et inngjerdet rektangel på 10 m og 60 m

For hånd

Regn ut arealet av område 1 og område 2.

Bonden vil bruke gjerdet til å lage et nytt rektangulært område der to parallelle sider er $x$ m.

Inngjerdet rektangulært område der to av de parallelle sidene er x m

For hånd

Forklar at lengden av de to andre parallelle sidene da må være $(70 - x) m$ . Vis at arealet av dette området kan beskrives av en funksjon $A$ gitt ved

A (x) = - x^{2} + 70 x

Hvilke verdier kan $x$ ha?

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $A$ . Bestem den $x$ -verdien som gir størst areal for dette området. Hvor stort er dette største arealet? Hvilken form har dette største området?

Fasit

$1000 m^{2} og 600 m^{2}$

$A (x) = - x^{2} + 70 x, 0 < x < 70$

$x = 35 m, størst areal = 1225 m^{2} (kvadrat)$

LøsningsforslagKI-generert

Område 1 er et rektangel med sidene $20 m$ og $50 m$ . Arealet er

20 \cdot 50 = 1000 m^{2}

Område 2 er et rektangel med sidene $10 m$ og $60 m$ . Arealet er

10 \cdot 60 = 600 m^{2}

Svar: $1000 m^{2} og 600 m^{2}$ . Selv om begge rektanglene lages av samme lengde gjerde ( $140 m$ ), blir arealene svært forskjellige.

Gjerdet er $140 m$ langt og skal danne et rektangel med to sider på $x$ m og to sider på $y$ m. Omkretsen av rektangelet må da være lik lengden på gjerdet:

2 x + 2 y = 140

Vi løser likningen med hensyn på $y$ :

\begin{matrix} 2 x + 2 y & = 140 \\ 2 x + 2 y - 2 x & = 140 - 2 x \\ 2 y & = 140 - 2 x \\ \frac{2 y}{2} & = \frac{140 - 2 x}{2} \\ y & = 70 - x \end{matrix}

De to andre parallelle sidene må altså være $(70 - x) m$ .

Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, altså $x$ ganger $(70 - x)$ :

A (x) = x \cdot (70 - x) = 70 x - x^{2} = - x^{2} + 70 x

Dette stemmer med formelen som er oppgitt i oppgaven.

Både $x$ og $(70 - x)$ må være positive lengder, siden det er sidekanter i et rektangel. Det gir

0 < x < 70

Vi lager først en verditabell for å se hvordan arealet endrer seg med $x$ :

$x$ (m)	$10$	$20$	$30$	$35$	$40$	$50$	$60$
$A (x)$ (m²)	$600$	$1000$	$1200$	$1225$	$1200$	$1000$	$600$

Tabellen viser at arealet øker fram til $x = 35$ , og deretter minker igjen. Verdiene er også symmetriske rundt $x = 35$ (f.eks. gir $x = 30$ og $x = 40$ samme areal), så toppunktet må ligge midt mellom, ved $x = 35$ .

Vi tegner grafen til $A$ i graftegner for å bekrefte dette og lese av toppunktet:

Grafen til A(x) = -x²+70x med toppunktet markert

Grafen viser at toppunktet er $T = (35; 1225)$ .

Den $x$ -verdien som gir størst areal, er altså $x = 35 m$ . Da er den andre siden $70 - 35 = 35 m$ , så området har form som et kvadrat med side $35 m$ .

Det største arealet er

A (35) = 35 \cdot 35 = 1225 m^{2}

Bonden bør altså lage et kvadratisk område med side $35 m$ for å få størst mulig areal med det $140 m$ lange gjerdet.

En kommentar til slutt: Blant rektangler er kvadratet den formen som gir størst areal. Men dersom bonden ikke er bundet til et rektangel og kan velge formen fritt, ville en sirkel gitt et enda større areal. Med omkrets $140 m$ får sirkelen radius

r = \frac{140}{2 π} = \frac{70}{π} \approx 22,3 m

og areal

π \cdot r^{2} = π \cdot {(\frac{70}{π})}^{2} = \frac{4900}{π} \approx 1560 m^{2}

som er større enn de $1225 m^{2}$ kvadratet gir.

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn E2015, del 2, oppgave 10
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Andregradsfunksjon, Modellering, Areal og omkrets, Graftegning

Størst mulig areal med 140 meter gjerde

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Størst mulig areal med 140 meter gjerde

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Størst mulig areal med 140 meter gjerde

Størst mulig areal med 140 meter gjerde

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer