Sparing og annuitetslån

Da Anniken fylte 15 år, satte hun $30\,000$ kroner inn på en konto med en fast månedlig rentesats på $0{,}1$ prosent. Hver måned etter dette satte hun inn 500 kroner på kontoen. Det siste innskuddet gjorde hun den dagen hun fylte 20 år.

Hvor mye hadde hun på kontoen etter innskuddet på 20-årsdagen?

Anniken skal kjøpe leilighet og tar opp et annuitetslån på 2 millioner kroner. Lånet skal betales tilbake med en nedbetalingstid på 30 år, én termin per år og en fast årlig rentesats på $2{,}4$ prosent. Første innbetaling er om ett år.

Vis at det årlige terminbeløpet er $94\,286$ kroner.

Anniken frykter en renteoppgang. Hun kan maksimalt betale et terminbeløp på $110\,000$ kroner.

Bestem den høyeste rentesatsen hun har råd til å betale.

Fasit

Ca. $62\,756 \, \mathrm{kr}$

Terminbeløp $\approx 94\,286 \, \mathrm{kr}$

Ca. $3{,}6 \, \%$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til beregningene, se utklipp under.

GeoGebra CAS

Den månedlige rentesatsen er $r = 0{,}001$ . Fra 15 til 20 år er det 60 måneder.

Startbeløpet på $30\,000 \, \mathrm{kr}$ vokser i 60 måneder:

30\,000 \cdot 1{,}001^{60}

De månedlige innskuddene på $500 \, \mathrm{kr}$ danner en geometrisk rekke. Innskudd nr. 1 vokser i 59 måneder, innskudd nr. 2 i 58 måneder, osv., og det siste innskuddet (nr. 60) vokser i 0 måneder:

500 \cdot \sum_{i=0}^{59} 1{,}001^i = 500 \cdot \frac{1{,}001^{60} - 1}{0{,}001}

Se Saldo i linje 4: totalt ca. $\underline{\underline{62\,756 \, \mathrm{kr}}}$ på kontoen.

Et annuitetslån med terminbeløp $T$ , rentesats $r = 0{,}024$ og $n = 30$ terminer gir:

T \cdot \sum_{i=1}^{30} \frac{1}{1{,}024^i} = 2\,000\,000

Se Terminbeløp i linje 5:

T = \frac{2\,000\,000}{\sum_{i=1}^{30} \frac{1}{1{,}024^i}} \approx 94\,286

Det årlige terminbeløpet er $\underline{\underline{94\,286 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi skal finne $r$ slik at terminbeløpet er $110\,000 \, \mathrm{kr}$ :

\sum_{i=1}^{30} \frac{110\,000}{(1+r)^i} = 2\,000\,000

Se linje 6 i CAS: $r \approx 0{,}03592$ .

Den høyeste rentesatsen Anniken har råd til er ca. $\underline{\underline{3{,}6 \, \%}}$ .

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: rekker, lån, sparing
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker