Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26

Et firma har søkt etter 5 sommervikarer. Firmaet har mottatt 80 søknader. Blant søkerne er det 14 ungdommer under 16 år.

Ledelsen bestemmer seg for å intervjue noen av søkerne. Søkerne som skal intervjues, trekkes ut tilfeldig.

Ledelsen ønsker å intervjue 10 søkere.

Bestem sannsynligheten for at minst 8 av disse er 16 år eller eldre.

Ledelsen ønsker at flere av søkerne de innkaller til intervju, er 16 år eller eldre.

Hvor mange søkere må ledelsen minst intervjue for å være 90 % sikre på at 10 eller flere er 16 år eller eldre?

Fasit

$P(\text{minst 8 er 16+}) \approx 0{,}7603$

Minst 14 søkere må intervjues.

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være antallet søkere under 16 år blant de som trekkes ut. Vi har totalt $N = 80$ søkere, hvorav $M = 14$ er under 16 år og $N - M = 66$ er 16 år eller eldre.

$X$ er hypergeometrisk fordelt med $N = 80$ , $M = 14$ og trekkstørrelse $n$ .

P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} = \frac{\binom{14}{k}\binom{66}{n-k}}{\binom{80}{n}}

Ledelsen trekker $n = 10$ søkere. Vi ønsker sannsynligheten for at minst 8 av disse er 16 år eller eldre.

«Minst 8 er 16+» tilsvarer «høyst 2 er under 16», altså $X \leq 2$ .

P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X = 0) = \frac{\binom{14}{0}\binom{66}{10}}{\binom{80}{10}} = \frac{1 \cdot \binom{66}{10}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}1281

P(X = 1) = \frac{\binom{14}{1}\binom{66}{9}}{\binom{80}{10}} = \frac{14 \cdot \binom{66}{9}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3147

P(X = 2) = \frac{\binom{14}{2}\binom{66}{8}}{\binom{80}{10}} = \frac{91 \cdot \binom{66}{8}}{\binom{80}{10}} \approx 0{,}3174

P(X \leq 2) \approx 0{,}1281 + 0{,}3147 + 0{,}3174 = \mathbf{\underline{\underline{0{,}7603}}}

I GeoGebra kan vi bruke sannsynlighetskalkulatoren med hypergeometrisk fordeling ( $N=80$ , $M=14$ , $n=10$ ) og lese av $P(X \leq 2) \approx 0{,}7603$ .

Sannsynligheten for at minst 8 av de 10 søkerne er 16 år eller eldre er omtrent $\underline{\underline{0{,}7603}}$ (ca. 76 %).

Nå er $n$ ukjent. Vi ønsker at sannsynligheten for at minst 10 av de $n$ intervjuede er 16 år eller eldre, skal være minst 90 %.

«Minst 10 er 16+» tilsvarer «høyst $n - 10$ er under 16», altså $X \leq n - 10$ .

Vi ønsker:

P(X \leq n - 10) \geq 0{,}90

Vi prøver systematisk for ulike verdier av $n$ :

$n$	$P(X \leq n-10)$
12	$\approx 0{,}6500$
13	$\approx 0{,}8374$
14	$\approx 0{,}9375$

For $n = 13$ er sannsynligheten ca. 83,7 %, som er under 90 %.

For $n = 14$ er sannsynligheten ca. 93,8 %, som er over 90 %.

Ledelsen må minst intervjue $\underline{\underline{14}}$ søkere for å være 90 % sikre på at 10 eller flere er 16 år eller eldre.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: hypergeometrisk fordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene