Sofaproduksjon og overskudd

En møbelfabrikk produserer en type sofaer. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall sofaer de produserer per måned, og produksjonskostnadene per måned.

Antall sofaer	10	25	40	70	100	140	180
Produksjonskostnader (i tusen kroner)	270	550	870	1500	2200	3300	4500

Fabrikken selger alle sofaene til en møbelkjede. De får 28 000 kroner per sofa.

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved

O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103

er en god modell for det månedlige overskuddet (i tusen kroner) til fabrikken, dersom de produserer $x$ sofaer.

Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?

Fabrikken ønsker at overskuddet skal være 1 million kroner per måned. De vil derfor endre salgsprisen på sofaene.

Bestem den laveste salgsprisen de kan sette per sofa, dersom de skal få dette overskuddet.

Fasit

Se graf — kurven $O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103$ ligger nær alle de empiriske punktene.

Størst overskudd ved produksjon av $\underline{\underline{134 \text{ sofaer}}}$ per måned, noe som gir et overskudd på $\underline{\underline{634\,800 \, \mathrm{kr}}}$ .

Laveste salgspris: $\underline{\underline{p \approx 30\,450 \, \mathrm{kr}}}$ per sofa.

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner inntekten. Fabrikken selger alle sofaene til 28 000 kr per sofa, så inntekten per måned er

I(x) = 28x \quad \text{(tusen kr)}

Vi beregner overskuddet $O = I - K$ for hver verdi i tabellen:

$x$	$I(x) = 28x$	$K(x)$	$O = I - K$
10	280	270	10
25	700	550	150
40	1120	870	250
70	1960	1500	460
100	2800	2200	600
140	3920	3300	620
180	5040	4500	540

Vi plotter de empiriske overskuddspunktene (blå) og kurven $O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103$ (grønn) i GeoGebra:

Kurven ligger nær alle de sju punktene, så modellen passer godt.

Overskuddet $O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103$ er en andregradsfunksjon som åpner nedover, og har derfor et globalt toppunkt. Vi finner toppunktet ved å derivere og sette den deriverte lik null:

O'(x) = -0{,}082x + 11 = 0

x = \frac{11}{0{,}082} \approx 134{,}1

Siden $x$ må være et heltall, sammenlignes $x = 134$ og $x = 135$ :

O(134) = -0{,}041 \cdot 134^2 + 11 \cdot 134 - 103 \approx 634{,}8 \quad \text{(tusen kr)}

O(135) = -0{,}041 \cdot 135^2 + 11 \cdot 135 - 103 \approx 634{,}8 \quad \text{(tusen kr)}

$O(134) > O(135)$ , så $x = 134$ gir størst overskudd.

Størst månedlig overskudd oppnås ved å produsere $\underline{\underline{134 \text{ sofaer}}}$ , og overskuddet er da $\underline{\underline{634\,800 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi finner kostnadsfunksjonen fra del a). Siden $O(x) = I(x) - K(x)$ , er

K(x) = I(x) - O(x) = 28x - (-0{,}041x^2 + 11x - 103) = 0{,}041x^2 + 17x + 103

Med ny salgspris $p$ kr per sofa blir inntekten $I_{\text{ny}}(x) = \dfrac{p}{1000} \cdot x$ (i tusen kr), og det nye overskuddet er

O_{\text{ny}}(x) = \frac{p}{1000} x - (0{,}041x^2 + 17x + 103)

Dette er igjen en andregradsfunksjon som åpner nedover. Toppverdien til en funksjon $f(x) = -ax^2 + bx + c$ er $\dfrac{b^2}{4a} + c$ . Her er $a = 0{,}041$ , $b = \dfrac{p}{1000} - 17$ og $c = -103$ :

O_{\text{ny, maks}} = \frac{\left(\dfrac{p}{1000} - 17\right)^2}{4 \cdot 0{,}041} - 103

Vi setter maksimum lik 1000 (= 1 million kr) og løser for $p$ i GeoGebra CAS:

CAS gir to løsninger: $p \approx 3\,550$ og $p \approx 30\,450$ . Løsningen $p \approx 3\,550$ er lavere enn 28 000 kr og forkastes (den svarer til et maksimum ved negativ produksjonsmengde, noe som ikke er fysisk meningsfullt). Den laveste salgsprisen som gir et maksimalt månedlig overskudd på 1 million kr er derfor

$\underline{\underline{p \approx 30\,450 \, \mathrm{kr}}}$ per sofa.

Sensorveiledning

2 poeng

Det kan gis 1 poeng for regresjonsanalyse av kostnadene.

2 poeng

Rett strategi gir 1 poeng.

2 poeng

En prøve-og-feile-metode kan gi full uttelling dersom kandidaten kommuniserer en systematisk tilnærming.

En god strategi kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: økonomi, andregradslikninger, modellering
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett