Sentralmål og standardavvik ved dobling av tallmengde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kalkulator

Finn median, gjennomsnitt og standardavvik for tallmengden:

2 5 21 15 17 5 9 19 10 14 7 3 2 11 13

Vi dobler alle tallene i tallmengden og får:

4 10 42 30 34 10 18 38 20 28 14 6 4 22 26

Kalkulator

Finn median, gjennomsnitt og standardavvik for denne tallmengden. Sammenlikn med resultatene fra a) og kommenter.

Berit får en idé og setter opp tabellen nedenfor.


Tallmengde 1 (15 tall)	2	5	21	15	17	5	9	19	10	14	7	3	2	11	13
Tallmengde 2 (de 15 tallene doblet)	4	10	42	30	34	10	18	38	20	28	14	6	4	22	26
Tallmengde 3 (de 15 tallene tredoblet)	6	15	63	45	51	15	27	57	30	42	21	9	6	33	39
Tallmengde 4 (de 15 tallene firedoblet)	8	20	84	60	68	20	36	76	40	56	28	12	8	44	52

Hun beregner median, gjennomsnitt og standardavvik for hver av tallmengdene og påstår at hun har funnet regler som sier noe om hvordan medianen, gjennomsnittet og standardavviket endrer seg når tallene i en tallmengde dobles, tredobles, firedobles osv.

Kalkulator

Formuler disse reglene, og gi en begrunnelse for at de er riktige.

Fasit

$median = 10, \overline{x} = 10,2, s \approx 6,20$

$median = 20, \overline{x} = 20,4, s \approx 12,40$ — nøyaktig dobbelt så store som i a)

Ved multiplikasjon av alle tall med en konstant $k$ : median, gjennomsnitt og standardavvik multipliseres alle med $k$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi sorterer tallmengden: $2, 2, 3, 5, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21$

Med $n = 15$ (oddetall) er medianen den midterste (8.) verdien:

median = 10

\overline{x} = \frac{2 + 5 + 21 + 15 + 17 + 5 + 9 + 19 + 10 + 14 + 7 + 3 + 2 + 11 + 13}{15} = \frac{153}{15} = 10,2

Standardavviket regnes med den empiriske formelen (deling på $n - 1$ , som i GeoGebra/Excel STDAV):

s = \sqrt{\frac{\sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n - 1}} \approx 6,20

Svar: $median = 10, \overline{x} = 10,2, s \approx 6,20$

Den doblede tallmengden, sortert: $4, 4, 6, 10, 10, 14, 18, 20, 22, 26, 28, 30, 34, 38, 42$

median = 20

\overline{x} = \frac{4 + 10 + 42 + 30 + 34 + 10 + 18 + 38 + 20 + 28 + 14 + 6 + 4 + 22 + 26}{15} = \frac{306}{15} = 20,4

s \approx 12,40

Svar: $median = 20, \overline{x} = 20,4, s \approx 12,40$

Sammenligning: Alle tre verdiene er nøyaktig dobbelt så store som i a): $20 = 2 \cdot 10$ , $20,4 = 2 \cdot 10,2$ og $12,40 = 2 \cdot 6,20$ . Når vi dobler alle tallene i datamaterialet, dobles altså både medianen, gjennomsnittet og standardavviket.

Regelen: Dersom alle tallene $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ i en tallmengde multipliseres med en (positiv) konstant $k$ , slik at vi får $y_{i} = k \cdot x_{i}$ , så gjelder:

median (y) = k \cdot median (x) \overline{y} = k \cdot \overline{x} s_{y} = k \cdot s_{x}

Dette stemmer med tabellen til Berit: ved dobling ( $k = 2$ ) blir alle tre målene doblet, ved tredobling ( $k = 3$ ) blir de tredoblet, og ved firedobling ( $k = 4$ ) blir de firedoblet.

Begrunnelse for gjennomsnitt:

\overline{y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} k x_{i} = k \cdot \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = k \overline{x}

Begrunnelse for median: Multiplikasjon med en positiv konstant $k$ endrer ikke rekkefølgen på tallene – er $x_{i} < x_{j}$ , så er også $k x_{i} < k x_{j}$ . Sorterer vi $y$ -verdiene, havner de derfor i akkurat samme rekkefølge som $x$ -verdiene, bare multiplisert med $k$ . Den midterste verdien (eller gjennomsnittet av de to midterste) blir da $k$ ganger så stor som i den opprinnelige tallmengden, altså $median (y) = k \cdot median (x)$ .

Begrunnelse for standardavvik:

s_{y}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \overline{y})}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(k x_{i} - k \overline{x})}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} k^{2} {(x_{i} - \overline{x})}^{2} = k^{2} \cdot \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2} = k^{2} s_{x}^{2}

Siden $k > 0$ , følger det at

s_{y} = \sqrt{k^{2} s_{x}^{2}} = k \cdot s_{x}

Alle avvikene fra gjennomsnittet skaleres altså med $k$ , og siden standardavviket måler nettopp spredningen (avvikene) rundt gjennomsnittet, skaleres også standardavviket med $k$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 9 poeng

Gode forsøk på begrunnelser bør honoreres.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2011, del 2, oppgave 8
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 9
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål

Sentralmål og standardavvik ved dobling av tallmengde

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sentralmål og standardavvik ved dobling av tallmengde

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sentralmål og standardavvik ved dobling av tallmengde

Sentralmål og standardavvik ved dobling av tallmengde

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer