Selvbetjeningskasse og hypotesetest

I en selvbetjeningskasse i en matbutikk blir i gjennomsnitt hver tiende kunde trukket tilfeldig ut til kontroll. Dette kan vi betrakte som et binomisk forsøk med $p = 0{,}1$ .

Bestem sannsynligheten for at fem kunder etter hverandre ikke blir trukket ut til kontroll.

La $X$ være antall kunder som blir trukket ut til kontroll av de 200 første kundene som bruker selvbetjeningskassen en tilfeldig dag.

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ og variansen $\text{Var}(X)$ .

Bestem $P(X \geq 25)$ .

Ledelsen i butikkjeden har mistanke om at færre enn 10 prosent av kundene blir kontrollert.

Sett opp hypoteser som de kan bruke til å avgjøre om mistanken er berettiget.

Ledelsen bestemmer seg for å undersøke hvor mange kunder som ble kontrollert en tilfeldig valgt dag. Det viser seg at 579 kunder brukte selvbetjeningskassen den dagen. Av disse ble 47 trukket ut til kontroll.

Utfør hypotesetesten og avgjør om mistanken er berettiget. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.

Fasit

$0{,}9^5 \approx 0{,}590$

$\text{E}(X) = 20$ , $\text{Var}(X) = 18$

$P(X \geq 25) \approx 0{,}145$

Se løsningsforslag

Mistanken er ikke berettiget ( $p$ -verdi $\approx 0{,}066 > 0{,}05$ )

LøsningsforslagKI-generert

Sannsynligheten for at én kunde ikke blir kontrollert er $1 - 0{,}1 = 0{,}9$ .

For fem kunder etter hverandre:

P = 0{,}9^5 \approx \underline{\underline{0{,}590}}

$X$ er binomisk fordelt med $n = 200$ og $p = 0{,}1$ .

\text{E}(X) = np = 200 \cdot 0{,}1 = \underline{\underline{20}}

\text{Var}(X) = np(1-p) = 200 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9 = \underline{\underline{18}}

Siden $n$ er stor, kan vi tilnærme $X$ med normalfordeling:

X \approx N(\mu = 20{,}\ \sigma = \sqrt{18} \approx 4{,}24)

P(X \geq 25) \approx P\!\left(Z \geq \frac{24{,}5 - 20}{4{,}24}\right) = P(Z \geq 1{,}06) = 1 - \Phi(1{,}06) \approx \underline{\underline{0{,}145}}

(Vi bruker kontinuitetskorreksjon: $P(X \geq 25) = P(X > 24{,}5)$ .)

Ledelsen mistenker at andelen kontrollerte er lavere enn 10 %. Vi setter opp:

H_0\colon p = 0{,}1 \quad \text{(andelen er 10 \%)}

H_1\colon p < 0{,}1 \quad \text{(andelen er lavere enn 10 \%)}

Vi gjennomfører en venstresidig test med signifikansnivå $\alpha = 0{,}05$ .

Vi har $n = 579$ og $\hat{p} = \dfrac{47}{579} \approx 0{,}0812$ .

Under $H_0$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 579$ og $p = 0{,}1$ . Vi tilnærmer med normalfordeling:

\text{E}(X) = 57{,}9 \quad \text{og} \quad \text{SD}(X) = \sqrt{579 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} \approx 7{,}22

Testobservator:

z = \frac{47 - 57{,}9}{7{,}22} \approx -1{,}51

$p$ -verdi: $P(Z \leq -1{,}51) = \Phi(-1{,}51) \approx 0{,}066$

Siden $p$ -verdien $0{,}066 > 0{,}05 = \alpha$ , forkaster vi ikke $H_0$ .

$\underline{\underline{\text{Konklusjon: Det er ikke grunnlag for å si at mistanken er berettiget.}}}$

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: binomisk, normalfordeling, hypotesetest
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet