Sannsynlighetsfordeling til brettspill

Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. Vi kaster terningen én gang. La $X$ være antall øyne terningen viser.

Tabell 1:

$k$	1	2	3	6
$P(X=k)$	$\frac{1}{6}$

Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at $E(X)=4$ .

Bestem $\text{Var}(X)$ .

Fasit

–

13/3

Løsningsforslag

Tabell 2:

$k$	$\textcolor{orange}{1}$	$\textcolor{seagreen}{2}$	$\textcolor{steelblue}{3}$	$\textcolor{tomato}{6}$	Sum
$P(X=k)$	$\textcolor{orange}{\frac{1}{6}}$	$\textcolor{seagreen}{\frac{1}{6}}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{1}{6}}$	$\textcolor{tomato}{\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}$	$1$
$k \cdot P(X=k)$	$\textcolor{orange}{\frac{1}{6}}$	$\textcolor{seagreen}{\frac{2}{6}}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{3}{6}}$	$\textcolor{tomato}{\frac{18}{6}}$	$\frac{24}{6}=4$
$(k-\mu)^{2}\cdot P(X=k)$	$\textcolor{orange}{3^{2} \cdot \frac{1}{6}=\frac{9}{6}}$	$\textcolor{seagreen}{2^{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{6}}$	$\textcolor{steelblue}{1^{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}}$	$\textcolor{tomato}{2^{2}\cdot \frac{3}{6}=\frac{12}{6}}$	$\frac{26}{6}=\frac{13}{3}$

Vi finner forventningsverdien ved å finne summen av rad 3 siden $E(X)=\sum k \cdot P(X=k)$

E(X)=\textcolor{orange}{\frac{1}{6}}+ \textcolor{seagreen}{\frac{2}{6}}+ \textcolor{steelblue}{\frac{3}{6}}+ \textcolor{tomato}{\frac{18}{6}}=\frac{24}{6}=4

Forventningsverdien $\mathrm{E}(X)=\underline{\underline{4}}$

Vi finner variansen ved å summere rad 4 i tabellen siden $\text{Var}(X)=\sum (k-\mu)^{2}\cdot P(X=k)$

\text{Var}(X)=\textcolor{orange}{\frac{9}{6}}+ \textcolor{seagreen}{\frac{4}{6}}+ \textcolor{steelblue}{\frac{1}{6}}+ \textcolor{tomato}{\frac{12}{6}}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3}

Variansen er $\mathrm{Var}(X)=\underline{\underline{\frac{13}{3}}}$

Sensorveiledning

1 poeng for å fylle ut tabellen og 1 poeng for å finne $E(X)$ .

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: diskrete sannsynlighetsfordelinger, varians, forventningsverdi
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler