Sannsynlighet med drops

Sander, Henny og Kari har hver sin pose med drops. I alle posene er det 3 grønne, 8 gule og 7 røde drops.

Sander tar 2 tilfeldige drops fra sin pose.

Bestem sannsynligheten for at han tar 2 gule drops.

Henny tar 3 tilfeldige drops fra sin pose.

Bestem sannsynligheten for at hun tar et drops av hver farge.

Sander og Henny legger tilbake dropsene de tok i oppgave a og b. Alle tre tar så et drops fra hver sin pose.

Bestem sannsynligheten for at alle får samme farge på dropset de tar.

Fasit

$\dfrac{28}{153}$

$\dfrac{7}{34}$

$\dfrac{49}{324}$

Løsningsforslag

Hver pose inneholder $3 + 8 + 7 = 18$ drops.

Sander tar $2$ drops. Sannsynligheten for $2$ gule:

P(\text{2 gule}) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{18}{2}} = \frac{28}{153}

$\underline{\underline{P = \dfrac{28}{153}}}$

Henny tar $3$ drops. Sannsynligheten for én av hver farge:

P(\text{en av hver}) = \frac{\binom{3}{1}\binom{8}{1}\binom{7}{1}}{\binom{18}{3}} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 7}{816} = \frac{168}{816} = \frac{7}{34}

$\underline{\underline{P = \dfrac{7}{34}}}$

Alle tre tar ett drops fra hver sin pose – uavhengige hendelser.

P(\text{alle samme}) = P(\text{alle grønn}) + P(\text{alle gul}) + P(\text{alle rød})

= \left(\frac{3}{18}\right)^3 + \left(\frac{8}{18}\right)^3 + \left(\frac{7}{18}\right)^3 = \frac{27 + 512 + 343}{5832} = \frac{882}{5832} = \frac{49}{324}

$\underline{\underline{P = \dfrac{49}{324}}}$

Sensorveiledning

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Kandidater som finner en rekkefølge, kan få 1 poeng.

En god strategi, men feil svar kan gi 1 poeng. Kandidater som regner med at de tre personene trekker fra samme pose kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: sannsynlighet, kombinatorikk
Kompetansemål: Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen