I et spill kan du få poeng ved å kaste en terning med fire sider. De fire sidene har ulik farge. Den ene siden er gul, den andre grønn, den tredje rød og den fjerde blå.

• Gul side gir ingen poeng.
• Grønn side gir ett poeng.
• Blå side gir to poeng.
• Rød side gir tre poeng.

Du starter med 10 poeng, og hvert kast koster 2 poeng.

La $x$ være endringen i poeng for hvert kast, det vil si poengene fra kastet fratrukket de to poengene kastet koster.

a)

Skriv av tabellen under og fyll inn det som mangler

$x$	$\Box$	$-1$	$\Box$	$\Box$
$P(X=x)$	$\Box$	$\frac{1}{4}$	$\Box$	$\Box$

b)

Bestem $\text{E}(X)$. Hva forteller dette svaret?

c)

Bestem $\text{Var}(X)$.

Fasit

a)

b)

-0,5. Du taper 0,5 poeng i snitt per omgang ved å spille over lengre tid.

c)

1,25

Løsningsforslag

a)

Jeg forutsetter at sannsynligheten er lik for alle fire sidene av terningen.

Farge	Gul	Grønn	Blå	Rød
$x$	$\textcolor{orange}{-2}$	$\textcolor{seagreen}{-1}$	$\textcolor{steelblue}{0}$	$\textcolor{tomato}{1}$
$P(X=x)$	$\textcolor{orange}{\frac{1}{4}}$	$\textcolor{seagreen}{\frac{1}{4}}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{1}{4}}$	$\textcolor{tomato}{\frac{1}{4}}$
$x \cdot P(X=x)$	$\textcolor{orange}{-\frac{2}{4}}$	$\textcolor{seagreen}{-\frac{1}{4}}$	$\textcolor{steelblue}{0}$	$\textcolor{tomato}{\frac{1}{4}}$
$(x-\text{E}(x))^{2}$	$\textcolor{orange}{\left( -\frac{3}{2} \right)^{2}}$	$\textcolor{seagreen}{\left( -\frac{1}{2} \right)^{2}}$	$\textcolor{steelblue}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}}$	$\textcolor{tomato}{\left( \frac{3}{2} \right)^{2}}$
$(x-\text{E}(X))^{2} \cdot P(X=x)$	$\textcolor{orange}{\frac{9}{16}}$	$\textcolor{seagreen}{\frac{1}{16}}$	$\textcolor{steelblue}{\frac{1}{16}}$	$\textcolor{tomato}{\frac{9}{16}}$

b) $$\text{E}(X)=\sum x \cdot P(X=x)=\textcolor{orange}{-\frac{2}{4}}+ \textcolor{seagreen}{\left( -\frac{1}{4} \right)} + \textcolor{steelblue}{0} + \textcolor{tomato}{\frac{1}{4}}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$$

$\underline{\underline{\text{E}(X)=-\frac{1}{2}}}$. Det betyr at en spiller i gjennomsnitt vil tape 0,5 poeng per gang hen spiller i det lange løp.

c) $$\text{Var}(X)=\sum (x-\text{E}(X))^{2} \cdot P(X=x)$$

Jeg har regnet ut hvert kvadratavvik i tabellen over.

$$\text{Var}(X)=\textcolor{orange}{\frac{9}{16}}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{16}}+\textcolor{steelblue}{\frac{1}{16}}+\textcolor{tomato}{\frac{9}{16}}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$$

Variansen $\underline{\underline{\text{Var}(X)=\frac{5}{4}}}$.

Sensorveiledning

a)

Alle felter må være korrekt utfylt for å få uttelling.

b)

1 poeng for å regne ut $E(x)$ og 1 poeng for å forklare hva svaret betyr.

c)

Riktig strategi, men feil i utregning kan gi 1 poeng.