Rottebestand og logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 2019 registrerte forskere antall rotter i en bypark noen dager i perioden fra og med 31. mai til og med 20. juli. Se tabellen.

Antall dager etter 31. mai	0	10	20	30	40	50
Antall rotter	6	15	37	72	104	126

Krever PC

La $t$ være antall dager etter 31. mai, og bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell $g$ for antall rotter i parken.

Modellen $f$ gitt ved

f (t) = \frac{120}{1 + 19 \cdot e^{- 0,12 t}}

viser hvor mange rotter det var i den samme parken $t$ dager etter 31. mai i 2018.

Kalkulator

Når økte antall rotter raskest, ifølge modellen $f$ ? Hvor raskt økte rottebestanden da?

I en annen park ble det i 2019 registrert 20 rotter den 31. mai. Anta at rottebestanden også i denne parken følger en logistisk modell. Anta videre at veksten i antall rotter var størst den 15. juli, og at bestanden stabiliserte seg på 200.

Kalkulator

Hvor mange rotter var det i denne parken den 30. juli, ifølge disse antakelsene?

Fasit

$g (t) \approx \frac{140,3}{1 + 23,1 \cdot e^{- 0,1056 t}}$

Etter ca. 24,5 dager. Veksten var da ca. 3,6 rotter per dag.

Ca. 135 rotter

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker logistisk regresjon.

$t$	0	10	20	30	40	50
Antall	6	15	37	72	104	126

Vi tilpasser en logistisk modell $g (t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{- b t}}$ .

Regresjonen gir

g (t) \approx \frac{140,3}{1 + 23,1 \cdot e^{- 0,1056 t}}

For en logistisk funksjon $f (t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{- b t}}$ øker antallet raskest i vendepunktet, der $f (t) = \frac{C}{2}$ .

Vi bruker GeoGebra CAS til å finne vendepunktet til $f$ :

GeoGebra CAS: vendepunkt

Fra linje 2 ser vi at vendepunktet er i $(24,54, 60)$ .

Fra linje 3 ser vi at $f^{'} (24,54) \approx 3,6$ .

Antall rotter økte raskest etter ca. $24,5 d a g e r$ (rundt 25. juni).

Veksten var da ca. $3,6 rotter per dag$ .

Vi skal finne en logistisk modell for den andre parken:

h (t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{- b t}}

Vi vet at:

$C = 200$ (bestanden stabiliserer seg på 200)
$h (0) = 20$ (20 rotter den 31. mai)
Veksten er størst 15. juli, som er dag $t = 45$

I vendepunktet er $h (t) = \frac{C}{2} = 100$ , og dette skjer ved $t = 45$ .

Fra $h (0) = 20$ :

\frac{200}{1 + a} = 20 ⟹ 1 + a = 10 ⟹ a = 9

Fra vendepunkt ved $t = 45$ :

a \cdot e^{- 45 b} = 1 ⟹ 9 \cdot e^{- 45 b} = 1 ⟹ e^{- 45 b} = \frac{1}{9}

b = \frac{\ln 9}{45} \approx 0,0488

Den 30. juli er dag $t = 60$ :

h (60) = \frac{200}{1 + 9 \cdot e^{- 0,0488 \cdot 60}} = \frac{200}{1 + 9 \cdot e^{- 2,929}}

= \frac{200}{1 + 9 \cdot 0,0535} = \frac{200}{1,482} \approx 135 r o t t e r

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2020, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Logistisk funksjon, Regresjon, Modellering, Geogebra
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Rottebestand og logistisk modell

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rottebestand og logistisk modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rottebestand og logistisk modell

Rottebestand og logistisk modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer