Rottebestand og logistisk modell

I 2019 registrerte forskere antall rotter i en bypark noen dager i perioden fra og med 31. mai til og med 20. juli. Se tabellen.

Antall dager etter 31. mai	0	10	20	30	40	50
Antall rotter	6	15	37	72	104	126

La $t$ være antall dager etter 31. mai, og bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell $g$ for antall rotter i parken.

Modellen $f$ gitt ved

f(t) = \frac{120}{1 + 19 \cdot e^{-0{,}12t}}

viser hvor mange rotter det var i den samme parken $t$ dager etter 31. mai i 2018.

Når økte antall rotter raskest, ifølge modellen $f$ ? Hvor raskt økte rottebestanden da?

I en annen park ble det i 2019 registrert 20 rotter den 31. mai. Anta at rottebestanden også i denne parken følger en logistisk modell. Anta videre at veksten i antall rotter var størst den 15. juli, og at bestanden stabiliserte seg på 200.

Hvor mange rotter var det i denne parken den 30. juli, ifølge disse antakelsene?

Fasit

$g(t) \approx \dfrac{140{,}3}{1 + 23{,}1 \cdot e^{-0{,}1056t}}$

Etter ca. 24,5 dager. Veksten var da ca. 3,6 rotter per dag.

Ca. 135 rotter

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker logistisk regresjon.

$t$	0	10	20	30	40	50
Antall	6	15	37	72	104	126

Vi tilpasser en logistisk modell $g(t) = \dfrac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}}$ .

Regresjonen gir

\underline{\underline{g(t) \approx \frac{140{,}3}{1 + 23{,}1 \cdot e^{-0{,}1056t}}}}

For en logistisk funksjon $f(t) = \dfrac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}}$ øker antallet raskest i vendepunktet, der $f(t) = \dfrac{C}{2}$ .

Vi bruker GeoGebra CAS til å finne vendepunktet til $f$ :

GeoGebra CAS: vendepunkt

Fra linje 2 ser vi at vendepunktet er i $(24{,}54, \; 60)$ .

Fra linje 3 ser vi at $f'(24{,}54) \approx 3{,}6$ .

Antall rotter økte raskest etter ca. $\underline{\underline{24{,}5 \mathrm{~dager}}}$ (rundt 25. juni).

Veksten var da ca. $\underline{\underline{3{,}6 \text{~rotter per dag}}}$ .

Vi skal finne en logistisk modell for den andre parken:

h(t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}}

Vi vet at:

$C = 200$ (bestanden stabiliserer seg på 200)
$h(0) = 20$ (20 rotter den 31. mai)
Veksten er størst 15. juli, som er dag $t = 45$

I vendepunktet er $h(t) = \dfrac{C}{2} = 100$ , og dette skjer ved $t = 45$ .

Fra $h(0) = 20$ :

\frac{200}{1 + a} = 20 \implies 1 + a = 10 \implies a = 9

Fra vendepunkt ved $t = 45$ :

a \cdot e^{-45b} = 1 \implies 9 \cdot e^{-45b} = 1 \implies e^{-45b} = \frac{1}{9}

b = \frac{\ln 9}{45} \approx 0{,}0488

Den 30. juli er dag $t = 60$ :

h(60) = \frac{200}{1 + 9 \cdot e^{-0{,}0488 \cdot 60}} = \frac{200}{1 + 9 \cdot e^{-2{,}929}}

= \frac{200}{1 + 9 \cdot 0{,}0535} = \frac{200}{1{,}482} \approx \underline{\underline{135 \mathrm{~rotter}}}

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: logistisk funksjon, regresjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett