Rekursiv sammenheng mellom pentagontall

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La $P_{n}$ være antall kuler i figur $n$ .

De fem første figurtallene er 1, 6, 16, 31 og 51

Pentagontallene. Figurkilde: By HB - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=872244

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom $P_{n}$ og $P_{n-1}$ .

Lag et program som regner ut $P_{1000}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a)

Fasit

$P_{n}=P_{n-1}+(n-1)\cdot d$ , der $d=5$ .

Se løsningsforslag for programkode.

Løsningsforslag

Jeg ser at differansen mellom antall kuler i figurene øker med 5, 10, 15, 20. La oss kalle denne differansen for $d$ . Vi kan si at $P_{2}=P_{1}+5=P_{1}+d$ og $P_{3}=P_{2}+2d$ . Vi ser dermed et mønster og kan sette opp følgende sammenheng for $n\geq 2$ :

P_{n}=P_{n-1}+(n-1)\cdot d

a = 1
d = 5
n = 100

for i in range(2, n + 1):
    a = a + d * (i-1)

print(f"Det er {a} kuler i figur {n}.")

Programmet gir at $P_{100}=24\,751$ .

Sensorveiledning

Det gis 1 poeng for rett rekursiv sammenheng og 1 poeng for god begrunnelse.

Dersom kandidaten har en riktig strategi, men gjør tellefeil eller programmeringsfeil, kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: rekursiv sammenheng, programmering, rekker, figurtall
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker