Rektangel under fallende graf med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{5}{x^{2} + 2}, x > 0

Rektangel OABC under grafen til f med B på grafen

Rektangelet $O A B C$ er laget slik at $B$ ligger på grafen til $f$ .

For hånd

Vis at arealet $F$ til rektangelet kan skrives som

F (x) = \frac{5 x}{x^{2} + 2}

Kalkulator

Bruk graftegner til å bestemme $x$ slik at rektangelet får areal lik $1,0$ .

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å bestemme eksakt $x$ -verdi når rektangelet har størst mulig areal. Bestem det største arealet.

Fasit

Vist i løsningsforslaget.

$x \approx 0,44 og x \approx 4,56$

$x = \sqrt{2}, F (\sqrt{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} \approx 1,77$

LøsningsforslagKI-generert

Rektangelet $O A B C$ har hjørnet $O$ i origo, $A$ på $x$ -aksen, $B$ på grafen til $f$ og $C$ på $y$ -aksen. Da er

bredden til rektangelet lik $x$ -koordinaten til $B$ , altså $x$ ,
høyden til rektangelet lik $y$ -koordinaten til $B$ , altså $f (x)$ .

Arealet av et rektangel er bredde ganger høyde, så

F (x) = x \cdot f (x) = x \cdot \frac{5}{x^{2} + 2} = \frac{5 x}{x^{2} + 2}

som skulle vises.

Vi tegner grafen til $F (x) = \frac{5 x}{x^{2} + 2}$ sammen med den vannrette linja $y = 1$ , og leser av skjæringspunktene.

Graf av F(x) med linja y=1

Grafen viser at $F (x) = 1$ for

x \approx 0,44 og x \approx 4,56

(eksakt: $x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$ ).

Vi bruker CAS til å derivere $F$ , løse $F^{'} (x) = 0$ og regne ut det tilhørende arealet.

CAS-utregning av F'(x)=0 og F(sqrt(2))

Av utklippet ser vi at

F^{'} (x) = - \frac{10 x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{2}} + \frac{5}{x^{2} + 2}

og at $F^{'} (x) = 0$ gir $x = - \sqrt{2}$ eller $x = \sqrt{2}$ . Siden $x > 0$ , forkaster vi den negative løsningen og står igjen med

x = \sqrt{2}

Rektangelet har da størst mulig areal, og CAS gir

F (\sqrt{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{4} \approx 1,77

Det største arealet rektangelet kan ha er altså om lag $1,77$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2015, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Optimering, Areal og omkrets, CAS

Rektangel under fallende graf med CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rektangel under fallende graf med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rektangel under fallende graf med CAS

Rektangel under fallende graf med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer