Pyramide med proporsjonal høyde

Volumet av en pyramide er gitt ved

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

der $G$ er arealet av grunnflaten, og $h$ er høyden.

Ole arbeider med pyramider der

En av pyramidene har et volum på $9 \mathrm{~dm^3}$ .

Pyramide

Hvor høy er denne pyramiden?

Ole påstår at høyde og volum er proporsjonale størrelser for pyramidene han arbeider med.

Avgjør om påstanden er riktig. Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

$h = 3 \, \mathrm{dm}$

Nei – $V = h^3/3$ , ikke proporsjonalt

Løsningsforslag

Grunnflaten er et kvadrat med side $s$ , og høyden er $h = s$ .

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot s^2 \cdot s = \frac{s^3}{3}

Setter inn $V = 9 \, \mathrm{dm^3}$ :

\frac{s^3}{3} = 9 \implies s^3 = 27 \implies s = 3

Siden høyden er lik sidekanten, er $h = s = 3$ .

Pyramiden er $\underline{\underline{3 \, \mathrm{dm}}}$ høy.

For at høyde og volum skal være proporsjonale, må forholdet $V/h$ være konstant.

Uttrykket for volum er $V = \dfrac{h^3}{3}$ , så

\frac{V}{h} = \frac{h^3/3}{h} = \frac{h^2}{3}

Dette avhenger av $h$ og er ikke konstant. Vi kan verifisere med noen verdier:

Påstanden er feil. Høyde og volum er ikke proporsjonale fordi forholdet $V/h$ ikke er konstant.

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. Riktig svar uten benevning kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: geometri, proporsjonalitet
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv