Produksjon med kostnad og inntekt for to varer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En bedrift produserer $x$ enheter av en vare $A$ . Alle de $x$ enhetene blir solgt. Kostnaden i kroner ved produksjonen er gitt ved funksjonen

K_{A} (x) = 0,3 x^{2} + 20 x + 1000, x \leq 150

Inntekten i kroner av salget er gitt ved funksjonen

I_{A} (x) = 200 x - x^{2}, x \leq 150

Krever PC

Tegn grafene til $K_{A}$ og $I_{A}$ i samme koordinatsystem. Bruk grafene til å finne hvor mange enheter som må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst. Forklar framgangsmåten din.

Kalkulator

Finn ved regning uttrykkene for grensekostnaden og grenseinntekten. Bestem ved regning den produksjonen som gir størst overskudd.

For en annen vare $B$ varierer etterspørselen bare med prisen $p$ kroner per enhet. Etterspørselen er antall enheter som selges.

Funksjonen

e (p) = 1000 - 17 p der p \leq 50

er en god modell for etterspørselen.

Bedriften innretter produksjonen slik at det produseres like mange enheter som det selges.

Kalkulator

Finn et uttrykk for inntekten $I_{B}$ som funksjon av $p$ . Bestem den prisen som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten med denne prisen?

Kostnadene i kroner ved produksjonen er gitt ved

K_{B} (x) = 800 - 10 x + 0,04 x^{2}

der $x$ er antall produserte enheter.

Kalkulator

Bestem et uttrykk for kostnaden $K_{B}$ som funksjon av $p$ .

Kalkulator

Hvilken pris gir størst overskudd? Hvor stort er det maksimale overskuddet?

Fasit

$x \approx 69 enheter$

$x = \frac{900}{13} \approx 69 enheter$

$p = \frac{500}{17} \approx 29,41 kr, I_{B} \approx 14705,88 kr$

$K_{B} (p) = \frac{289}{25} p^{2} - 1190 p + 30800$

$p \approx 38,34 kr, maks. overskudd \approx 11182,67 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddet til bedriften er differansen mellom inntekten og kostnaden, altså den loddrette avstanden mellom grafen til $I_{A}$ og grafen til $K_{A}$ . Overskuddet er størst der denne avstanden er størst.

Vi tegner grafene til $K_{A} (x) = 0,3 x^{2} + 20 x + 1000$ (rød) og $I_{A} (x) = 200 x - x^{2}$ (blå) i samme koordinatsystem, for $x \leq 150$ :

Graf med K_A og I_A, og det loddrette linjestykket der overskuddet er størst

Det grønne linjestykket markerer stedet der avstanden mellom kurvene er størst. Ved avlesning av grafen ser vi at dette skjer for

x \approx 69

Bedriften bør altså produsere og selge $69 enheter$ for at overskuddet skal bli størst.

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, og grenseinntekten er den deriverte av inntektsfunksjonen:

K_{A}^{'} (x) = 0,6 x + 20 I_{A}^{'} (x) = 200 - 2 x

Overskuddet $O_{A} (x) = I_{A} (x) - K_{A} (x)$ er størst der grensekostnaden er lik grenseinntekten, altså der $O_{A}^{'} (x) = 0$ :

K_{A}^{'} (x) = I_{A}^{'} (x)

0,6 x + 20 = 200 - 2 x

Vi løser likningen med CAS:

CAS-utregning av grensekostnad, grenseinntekt og optimal produksjonsmengde for vare A

x = \frac{900}{13} \approx 69,2

Siden $x$ må være et helt antall enheter, bør bedriften produsere og selge $69 enheter$ . Dette stemmer godt med avlesningen i a).

Bedriften produserer like mange enheter som blir solgt, så antallet solgte enheter er $e (p) = 1000 - 17 p$ . Inntekten er pris multiplisert med antall solgte enheter:

I_{B} (p) = p \cdot e (p) = p (1000 - 17 p) = 1000 p - 17 p^{2}, p \leq 50

Vi finner prisen som gir størst inntekt ved å derivere og løse $I_{B}^{'} (p) = 0$ med CAS:

CAS-utregning av inntektsfunksjon, kostnadsfunksjon og overskuddsfunksjon for vare B

I_{B}^{'} (p) = 1000 - 34 p = 0 \Rightarrow p = \frac{500}{17} \approx 29,41

Siden $I_{B}^{'} (p)$ går fra positiv til negativ verdi her, er dette et toppunkt. Inntekten ved denne prisen er

I_{B} (\frac{500}{17}) = \frac{250000}{17} \approx 14705,88

Prisen $p \approx 29,41 kr$ gir størst inntekt, og denne inntekten er $I_{B} \approx 14705,88 kr$ .

Antall produserte/solgte enheter uttrykt ved prisen er $x = e (p) = 1000 - 17 p$ . Vi setter dette inn i uttrykket for $K_{B} (x)$ :

K_{B} (p) = 800 - 10 (1000 - 17 p) + 0,04 {(1000 - 17 p)}^{2}

CAS forenkler uttrykket (se rad 6–7 i utklippet over):

K_{B} (p) = \frac{289}{25} p^{2} - 1190 p + 30800 = 11,56 p^{2} - 1190 p + 30800

Overskuddet som funksjon av prisen er $O_{B} (p) = I_{B} (p) - K_{B} (p)$ :

O_{B} (p) = (1000 p - 17 p^{2}) - (11,56 p^{2} - 1190 p + 30800) = - 28,56 p^{2} + 2190 p - 30800

Vi finner maksimum ved å derivere og løse $O_{B}^{'} (p) = 0$ med CAS:

CAS-utregning av optimal pris og maksimalt overskudd for vare B

O_{B}^{'} (p) = - 57,12 p + 2190 = 0 \Rightarrow p = \frac{9125}{238} \approx 38,34

Siden $O_{B}$ er en parabel som vender nedover ( $- 28,56 < 0$ ), er dette et maksimum. Det maksimale overskuddet er

O_{B} (\frac{9125}{238}) = \frac{2661475}{238} \approx 11182,67

Prisen $p \approx 38,34 kr$ gir størst overskudd, og dette maksimale overskuddet er $O_{B} \approx 11182,67 kr$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2009, del 2, oppgave 4-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Etterspørsel

Produksjon med kostnad og inntekt for to varer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Produksjon med kostnad og inntekt for to varer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Produksjon med kostnad og inntekt for to varer

Produksjon med kostnad og inntekt for to varer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer