Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 3x^2 - 4

Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at $f(x) = (x + 2)^2 \cdot (x - 1)$ .

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Bestem likningen til vendetangenten til grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Løs likningen $(\ln x)^3 + 3(\ln x)^2 - 4 = 0$ .

Fasit

Se løsningsforslag

Toppunkt $(-2, 0)$ , bunnpunkt $(0, -4)$

$y = -3x - 5$

Se løsningsforslag

$x = e^{-2}$ eller $x = e$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sjekker at $x = 1$ er en nullpunktsverdi: $f(1) = 1 + 3 - 4 = 0$ ✓

Vi utfører polynomdivisjon $(x^3 + 3x^2 - 4) : (x - 1)$ :

x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4)

Vi faktoriserer $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ , slik at

f(x) = (x + 2)^2(x - 1)

f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)

$f'(x) = 0$ gir $x = 0$ eller $x = -2$ .

$f''(x) = 6x + 6$ :

$f''(-2) = -6 < 0$ : Toppunkt $(-2, f(-2)) = \underline{\underline{(-2, 0)}}$
$f''(0) = 6 > 0$ : Bunnpunkt $(0, f(0)) = \underline{\underline{(0, -4)}}$

Vendepunktet er der $f''(x) = 0$ : $6x + 6 = 0 \implies x = -1$ .

$f(-1) = -1 + 3 - 4 = -2$ og $f'(-1) = 3 - 6 = -3$ .

Vendetangenten:

\underline{\underline{y = -3(x - (-1)) + (-2) = -3x - 5}}

Grafen har dobbeltrot i $x = -2$ (tangerer $x$ -aksen), nullpunkt i $x = 1$ , toppunkt $(-2, 0)$ , bunnpunkt $(0, -4)$ og vendepunkt $(-1, -2)$ .

Vi setter $u = \ln x$ :

(\ln x)^3 + 3(\ln x)^2 - 4 = 0 \implies u^3 + 3u^2 - 4 = 0

Dette er likningen $f(u) = 0$ , som fra oppgave a) gir $(u + 2)^2(u - 1) = 0$ , altså $u = -2$ eller $u = 1$ .

\ln x = -2 \implies x = e^{-2} \qquad \text{eller} \qquad \ln x = 1 \implies x = e

\underline{\underline{x = e^{-2} \approx 0{,}135 \quad \text{eller} \quad x = e \approx 2{,}718}}

Oppgavedata

Poeng: 10
Temaer: polynomdivisjon, funksjonsdrøfting, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon