Polynomdivisjon og delbarhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar at polynomet $x^3 - ax^2 + 2ax - 8$ alltid er delelig med $(x - 2)$ .

Forkort brøken

\frac{x^3 - x^2 + 2x - 8}{x - 2}

Fasit

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ for alle verdier av $a$ .

$x^2 + x + 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorteoremet: et polynom $p(x)$ er delelig med $(x - 2)$ hvis og bare hvis $p(2) = 0$ .

Vi setter $x = 2$ inn i $p(x) = x^3 - ax^2 + 2ax - 8$ :

p(2) = 2^3 - a \cdot 2^2 + 2a \cdot 2 - 8 = 8 - 4a + 4a - 8 = 0

Siden $p(2) = 0$ uansett verdien av $a$ , er polynomet alltid delelig med $(x - 2)$ .

Med $a = 1$ er telleren $x^3 - x^2 + 2x - 8$ . Vi utfører polynomdivisjon:

x^3 - x^2 + 2x - 8 : (x - 2)

x^3 - x^2 + 2x - 8 = (x-2) \cdot x^2 + x^2 + 2x - 8

x^2 + 2x - 8 = (x-2) \cdot x + 4x - 8

4x - 8 = (x-2) \cdot 4

Altså:

x^3 - x^2 + 2x - 8 = (x-2)(x^2 + x + 4)

Dermed:

\frac{x^3 - x^2 + 2x - 8}{x - 2} = x^2 + x + 4

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter