Polynomdivisjon og delbarhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar at polynomet $x^{3} - a x^{2} + 2 a x - 8$ alltid er delelig med $(x - 2)$ .

Forkort brøken

\frac{x^{3} - x^{2} + 2 x - 8}{x - 2}

Fasit

$p (x)$ er delelig med $(x - 2)$ for alle verdier av $a$ .

$x^{2} + x + 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorteoremet: et polynom $p (x)$ er delelig med $(x - 2)$ hvis og bare hvis $p (2) = 0$ .

Vi setter $x = 2$ inn i $p (x) = x^{3} - a x^{2} + 2 a x - 8$ :

p (2) = 2^{3} - a \cdot 2^{2} + 2 a \cdot 2 - 8 = 8 - 4 a + 4 a - 8 = 0

Siden $p (2) = 0$ uansett verdien av $a$ , er polynomet alltid delelig med $(x - 2)$ .

Med $a = 1$ er telleren $x^{3} - x^{2} + 2 x - 8$ . Vi utfører polynomdivisjon:

x^{3} - x^{2} + 2 x - 8 : (x - 2)

x^{3} - x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) \cdot x^{2} + x^{2} + 2 x - 8

x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) \cdot x + 4 x - 8

4 x - 8 = (x - 2) \cdot 4

Altså:

x^{3} - x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) (x^{2} + x + 4)

Dermed:

\frac{x^{3} - x^{2} + 2 x - 8}{x - 2} = x^{2} + x + 4

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2015, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Argumentasjon

Innstillinger