Polynom med delelighetskriterium

Et polynom $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 12x - 16

Begrunn, uten å utføre polynomdivisjon, at $P(x)$ er delelig med $(x + 2)$ , men ikke med $(x - 2)$ .

Forkort brøken

\frac{x^3 - 12x - 16}{4x - 16}

Fasit

$P(-2) = 0$ , så $(x+2)$ er faktor. $P(2) = -32 \neq 0$ , så $(x-2)$ er ikke faktor.

$\dfrac{(x+2)^2}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorsettningen. Et polynom $P(x)$ er delelig med $(x - a)$ hvis og bare hvis $P(a) = 0$ .

P(-2) = (-2)^3 - 12 \cdot (-2) - 16 = -8 + 24 - 16 = 0

Siden $P(-2) = 0$ , er $P(x)$ delelig med $(x + 2)$ .

P(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 - 16 = 8 - 24 - 16 = -32 \neq 0

Siden $P(2) \neq 0$ , er $P(x)$ ikke delelig med $(x - 2)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $P(x) : (x + 2)$ :

x^3 - 12x - 16 = (x + 2)(x^2 - 2x - 8)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

Altså: $P(x) = (x + 2)^2(x - 4)$ .

Vi forkorter brøken:

\frac{x^3 - 12x - 16}{4x - 16} = \frac{(x+2)^2(x-4)}{4(x-4)} = \underline{\underline{\frac{(x+2)^2}{4}}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon