$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu =500$ og $\sigma =90$.

Vi beregner sannsynligheten for at en tilfeldig norsk elev scoret minst 650 poeng:

Med GeoGebra CAS:

1 - NormalFordeling(500, 90, 650)

$P(X\ge 650)\approx \underline{\underline{\mathrm{0,048}}}$ – det er omtrent $\mathrm{4,8}\%$ sjanse for at en tilfeldig norsk elev scoret minst 650 poeng.

Vi beregner sannsynligheten for at eleven scoret mellom 475 og 535 poeng:

Med GeoGebra CAS:

NormalFordeling(500, 90, 535) - NormalFordeling(500, 90, 475)

$P(475\le X\le 535)\approx \underline{\underline{\mathrm{0,261}}}$ – det er omtrent $\mathrm{26,1}\%$ sjanse for at en tilfeldig norsk elev scoret mellom 475 og 535 poeng.

Vi gjennomfører en ensidig hypotesetest. Signifikansnivå: $\alpha =5\%$.

Hypoteser:

Vi vet at $\bar{x}=500$, $\sigma =90$ og $n=4700$.

Siden $n$ er stort, er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi ${\mu }_0=495$ og standardfeil

Vi beregner $z$-verdien:

Med GeoGebra CAS:

90 / sqrt(4700)          → 1.31278
(500 - 495) / (90/sqrt(4700))   → 3.8087

p-verdien er sannsynligheten for å observere et utvalgsgjennomsnitt like ekstremt som eller mer ekstremt enn $\bar{x}=500$, gitt at $H_0$ er sann:

Siden $p\approx \mathrm{0,00007}\ll \mathrm{0,05}=\alpha$, forkaster vi $H_0$.

Konklusjon: Det er statistisk grunnlag (på $5\%$ signifikansnivå) for å si at $\underline{\underline{\text{norske elever var bedre enn elever fra land som scoret 495 poeng.}}}$

Merk: Selv med $\alpha =1\%$ ($z$-kritisk $\approx \mathrm{2,33}$) vil vi forkaste $H_0$ siden $z\approx \mathrm{3,81}>\mathrm{2,33}$. Resultatet er svært robust for valg av signifikansnivå.