Perlefigurer med mønster og formel for Fn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Perlefigurer F1, F2 og F3

Ole lager figurer av runde perler. Ovenfor ser du tre figurer, $F_{1}$ , $F_{2}$ og $F_{3}$ .

Kalkulator

Følg samme mønster, og tegn figuren $F_{4}$ .

Kalkulator

Sett opp en modell som viser hvor mange perler det vil være i figur $F_{n}$ uttrykt ved $n$ .

Kalkulator

Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler det vil være i figuren $F_{50}$ .

Fasit

$F_{4}$ har 6 rader: 2 perler øverst, 4 mellomrader med 6 perler, 2 perler nederst — totalt $28 perler$ .

$F_{n} = n^{2} + 2 n + 4$

$F_{50} = 2604 perler$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på mønsteret i figurene. Hver figur har to fulle ytterkolonner, og perler i midten bare i radene mellom topp og bunn:

$F_{1}$ : 3 rader — øverst 2 perler, 1 midtrad med 3 perler, nederst 2 perler
$F_{2}$ : 4 rader — øverst 2, 2 mellomrader med 4 perler, nederst 2
$F_{3}$ : 5 rader — øverst 2, 3 mellomrader med 5 perler, nederst 2

Fra $F_{n}$ til $F_{n + 1}$ blir figuren én rad høyere, det kommer én mellomrad til, og hver mellomrad får én perle mer.

$F_{4}$ følger dette mønsteret:

Antall rader: $4 + 2 = 6$
Øverst og nederst: 2 perler
Mellomrader: $4 + 2 = 6$ perler per rad, og det er $4$ slike rader

$F_{4}$ ser slik ut (6 rader):

Figuren F4 med 28 perler

Totalt i $F_{4}$ : $2 + 4 \cdot 6 + 2 = 𝟐𝟖$ perler.

Vi setter opp en tabell med de tellte verdiene:

$n$	Antall perler $F_{n}$	Differanse
1	7
2	12	5
3	19	7
4	28	9

Differansen øker med 2 for hvert trinn (5, 7, 9, …). Det betyr at veksten er jevnt tiltagende, og vi trenger en andregradsfunksjon $F_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

Vi bruker de tre kjente verdiene til å sette opp tre likninger:

{\begin{matrix} a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = 7 \\ a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c = 12 \\ a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + c = 19 \end{matrix}

Fra likning 2 minus likning 1: $3 a + b = 5$

Fra likning 3 minus likning 2: $5 a + b = 7$

Trekker den første fra den andre: $2 a = 2 ⟹ a = 1$

Da er $b = 5 - 3 \cdot 1 = 2$ , og $c = 7 - 1 - 2 = 4$ .

F_{n} = n^{2} + 2 n + 4

Dobbeltsjekk:

$F_{1} = 1 + 2 + 4 = 7$ ✓
$F_{2} = 4 + 4 + 4 = 12$ ✓
$F_{3} = 9 + 6 + 4 = 19$ ✓

Vi kan også se dette geometrisk. $F_{n}$ har $(n + 2)$ rader:

Øverst og nederst: 2 perler (til sammen $2 \cdot 2 = 4$ perler)
Mellomrader: $(n + 2)$ perler per rad, og det er $n$ slike rader

F_{n} = 4 + n (n + 2) = 4 + n^{2} + 2 n = n^{2} + 2 n + 4

Vi setter $n = 50$ inn i formelen:

F_{50} = 50^{2} + 2 \cdot 50 + 4 = 2500 + 100 + 4 = 2604

Det vil være $2604 perler$ i figuren $F_{50}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 2P H2014, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger

Perlefigurer med mønster og formel for Fn

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Perlefigurer med mønster og formel for Fn

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Perlefigurer med mønster og formel for Fn

Perlefigurer med mønster og formel for Fn

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer