Perlefigurer med mønster og formel for Fn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Perlefigurer F1, F2 og F3

Ole lager figurer av runde perler. Ovenfor ser du tre figurer, $F_1$ , $F_2$ og $F_3$ .

Følg samme mønster, og tegn figuren $F_4$ .

Sett opp en modell som viser hvor mange perler det vil være i figur $F_n$ uttrykt ved $n$ .

Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler det vil være i figuren $F_{50}$ .

Fasit

$F_4$ har 6 rader: 2 perler øverst, 4 mellomrader med 6 perler, 2 perler nederst — totalt $\underline{\underline{28 \text{ perler}}}$ .

$\underline{\underline{F_n = n^2 + 2n + 4}}$

$\underline{\underline{F_{50} = 2604 \text{ perler}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på mønsteret i figurene. Hver figur har to fulle ytterkolonner, og perler i midten bare i radene mellom topp og bunn:

$F_1$ : 3 rader — øverst 2 perler, 1 midtrad med 3 perler, nederst 2 perler
$F_2$ : 4 rader — øverst 2, 2 mellomrader med 4 perler, nederst 2
$F_3$ : 5 rader — øverst 2, 3 mellomrader med 5 perler, nederst 2

Fra $F_n$ til $F_{n+1}$ blir figuren én rad høyere, det kommer én mellomrad til, og hver mellomrad får én perle mer.

$F_4$ følger dette mønsteret:

Antall rader: $4 + 2 = 6$
Øverst og nederst: 2 perler
Mellomrader: $4 + 2 = 6$ perler per rad, og det er $4$ slike rader

$F_4$ ser slik ut (6 rader):

●         ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
●         ●

Totalt i $F_4$ : $2 + 4 \cdot 6 + 2 = \mathbf{28}$ perler.

Vi setter opp en tabell med de tellte verdiene:

$n$	Antall perler $F_n$	Differanse
1	7
2	12	5
3	19	7
4	28	9

Differansen øker med 2 for hvert trinn (5, 7, 9, …). Det betyr at veksten er jevnt tiltagende, og vi trenger en andregradsfunksjon $F_n = an^2 + bn + c$ .

Vi bruker de tre kjente verdiene til å sette opp tre likninger:

\begin{cases} a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 7 &\\ a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 12 &\\ a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 19 & \end{cases}

Fra likning 2 minus likning 1: $\quad 3a + b = 5$

Fra likning 3 minus likning 2: $\quad 5a + b = 7$

Trekker den første fra den andre: $\quad 2a = 2 \implies a = 1$

Da er $b = 5 - 3 \cdot 1 = 2$ , og $c = 7 - 1 - 2 = 4$ .

\boxed{F_n = n^2 + 2n + 4}

Dobbeltsjekk:

$F_1 = 1 + 2 + 4 = 7$ ✓
$F_2 = 4 + 4 + 4 = 12$ ✓
$F_3 = 9 + 6 + 4 = 19$ ✓

Vi kan også se dette geometrisk. $F_n$ har $(n+2)$ rader:

Øverst og nederst: 2 perler (til sammen $2 \cdot 2 = 4$ perler)
Mellomrader: $(n+2)$ perler per rad, og det er $n$ slike rader

F_n = 4 + n(n+2) = 4 + n^2 + 2n = n^2 + 2n + 4

Vi setter $n = 50$ inn i formelen:

F_{50} = 50^2 + 2 \cdot 50 + 4 = 2500 + 100 + 4 = 2604

Det vil være $\underline{\underline{2604 \text{ perler}}}$ i figuren $F_{50}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger

Perlefigurer med mønster og formel for Fn

Sync på tvers av enheter

Perlefigurer med mønster og formel for Fn

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave