Pascals trekant og trekking av kuler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.

I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.

Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.

Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.

I oppgaven kan du få bruk for disse formlene:

Binomisk fordeling:

P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Antall uavhengige forsøk er $n$ . $X$ er antall ganger $A$ inntreffer. $P (A) = p$ i hvert forsøk.

Hypergeometrisk fordeling:

P (X = k) = \frac{(\binom{m}{k}) \cdot (\binom{n - m}{r - k})}{(\binom{n}{r})}

$m$ elementer i $D$ . $n - m$ elementer i $\overline{D}$ . $r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$ .

Fasit

Pascals talltrekant, se løsningsforslag

$P (3 blå) = \frac{4}{35}$

$P (både rødt og blått) = \frac{6}{7}$

LøsningsforslagKI-generert

De åtte første radene ( $n = 0$ til $n = 7$ ) i Pascals talltrekant er:

\begin{matrix} 1 \\ 1 1 \\ 1 2 1 \\ 1 3 3 1 \\ 1 4 6 4 1 \\ 1 5 10 10 5 1 \\ 1 6 15 20 15 6 1 \\ 1 7 21 35 35 21 7 1 \end{matrix}

Hvert tall i trekanten er summen av de to tallene rett over. Tallene i rad $n$ svarer til binomialkoeffisientene $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), \dots, (\binom{n}{n})$ .

Vi har til sammen $3 + 4 = 7$ kuler, og trekker $3$ av dem uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon der $D$ er de blå kulene: $m = 4$ blå, $n - m = 3$ røde, $n = 7$ totalt, og $r = 3$ trekkes.

Sannsynligheten for å trekke $3$ blå kuler (altså $k = 3$ av de blå):

P (X = 3) = \frac{(\binom{4}{3}) \cdot (\binom{3}{0})}{(\binom{7}{3})}

Vi finner binomialkoeffisientene fra Pascals trekant i a): $(\binom{4}{3}) = 4$ , $(\binom{3}{0}) = 1$ og $(\binom{7}{3}) = 35$ .

P (X = 3) = \frac{4 \cdot 1}{35}

P (3 blå) = \frac{4}{35}

Hendelsen «både røde og blå kuler blant de tre» er komplementet til hendelsen «alle tre kulene har samme farge», altså «alle tre blå» eller «alle tre røde».

Vi har allerede funnet $P (3 blå) = \frac{4}{35}$ fra b). Vi finner tilsvarende $P (3 røde)$ med $m = 3$ røde kuler:

P (3 røde) = \frac{(\binom{3}{3}) \cdot (\binom{4}{0})}{(\binom{7}{3})} = \frac{1 \cdot 1}{35} = \frac{1}{35}

Sannsynligheten for at alle tre kulene har samme farge er dermed

P (samme farge) = \frac{4}{35} + \frac{1}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}

Sannsynligheten for både røde og blå kuler er komplementet av dette.

P (både rødt og blått) = 1 - \frac{1}{7}

P (både rødt og blått) = \frac{6}{7}

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2018, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Pascals trekant, Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet

Pascals trekant og trekking av kuler

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pascals trekant og trekking av kuler

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pascals trekant og trekking av kuler

Pascals trekant og trekking av kuler

Lov på eksamen

Temaer