Overskuddsfunksjon og prisfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K$ i kroner ved å produsere og selge $x$ enheter av varen per dag, er gitt ved

K (x) = 0,03 x^{2} + 20 x + 500, 0 \leq x \leq 250

Inntekten $I$ i kroner dersom bedriften selger $x$ enheter per dag, er gitt ved

I (x) = - 0,14 x^{2} + 74 x, 0 \leq x \leq 250

Kalkulator

Tegn grafen til overskuddsfunksjonen.

Kalkulator

Bestem hvor mange enheter bedriften må produsere og selge per dag for å få størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?

For en annen vare antar vi at salgsprisen i kroner per enhet ved produksjon av $x$ enheter er gitt på formen

p (x) = a x + b

Her er $a$ og $b$ to reelle tall.

Kostnadsfunksjonen for denne varen er $K$ som gitt ovenfor.

Kalkulator

Bestem $a$ og $b$ slik at overskuddet er

størst ved produksjon og salg av 175 enheter
5625 kr ved produksjon av 175 enheter

Fasit

Se graf

Ca. $158,8$ enheter, overskudd ca. $3788 k r$

$a = - 0,17$ og $b = 90$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddsfunksjonen er

O (x) = I (x) - K (x) = - 0,14 x^{2} + 74 x - 0,03 x^{2} - 20 x - 500

O (x) = - 0,17 x^{2} + 54 x - 500

Graf over overskuddsfunksjonen

Vi finner maksimum ved å sette $O^{'} (x) = 0$ :

GeoGebra CAS: overskuddsfunksjon

Fra linje 4 ser vi at $O^{'} (x) = 0$ gir $x = \frac{2700}{17} \approx 158,8$ .

Fra linje 5 ser vi at $O (\frac{2700}{17}) = \frac{64 400}{17} \approx 3788$ .

Bedriften må produsere og selge ca. $159 e n h e t e r$ per dag for størst overskudd. Overskuddet blir da ca. $3788 k r$ .

Inntekten med prisfunksjonen $p (x) = a x + b$ er

I (x) = x \cdot p (x) = a x^{2} + b x

Overskuddet blir

O (x) = I (x) - K (x) = a x^{2} + b x - 0,03 x^{2} - 20 x - 500

O (x) = (a - 0,03) x^{2} + (b - 20) x - 500

Krav 1: Størst overskudd ved $x = 175$ , altså $O^{'} (175) = 0$ :

O^{'} (x) = 2 (a - 0,03) x + (b - 20)

O^{'} (175) = 350 (a - 0,03) + (b - 20) = 0

350 a + b = 30,5 (I)

Krav 2: $O (175) = 5625$ :

(a - 0,03) \cdot 175^{2} + (b - 20) \cdot 175 - 500 = 5625

30625 a - 918,75 + 175 b - 3500 - 500 = 5625

30625 a + 175 b = 10543,75 (II)

Fra (I): $b = 30,5 - 350 a$ . Innsatt i (II):

30625 a + 175 (30,5 - 350 a) = 10543,75

30625 a + 5337,5 - 61250 a = 10543,75

- 30625 a = 5206,25

a = - 0,17

b = 30,5 - 350 \cdot (- 0,17) = 90

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2020, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Derivasjon, Økonomi, Etterspørsel
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Overskuddsfunksjon og prisfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Overskuddsfunksjon og prisfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Overskuddsfunksjon og prisfunksjon

Overskuddsfunksjon og prisfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer