Overskuddsfunksjon og prisfunksjon

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K$ i kroner ved å produsere og selge $x$ enheter av varen per dag, er gitt ved

K(x) = 0{,}03x^2 + 20x + 500, \quad 0 \leq x \leq 250

Inntekten $I$ i kroner dersom bedriften selger $x$ enheter per dag, er gitt ved

I(x) = -0{,}14x^2 + 74x, \quad 0 \leq x \leq 250

Tegn grafen til overskuddsfunksjonen.

Bestem hvor mange enheter bedriften må produsere og selge per dag for å få størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?

For en annen vare antar vi at salgsprisen i kroner per enhet ved produksjon av $x$ enheter er gitt på formen

p(x) = ax + b

Her er $a$ og $b$ to reelle tall.

Kostnadsfunksjonen for denne varen er $K$ som gitt ovenfor.

Bestem $a$ og $b$ slik at overskuddet er

størst ved produksjon og salg av 175 enheter
5625 kr ved produksjon av 175 enheter

Fasit

Se graf

Ca. $158{,}8$ enheter, overskudd ca. $3788 \mathrm{~kr}$

$a = -0{,}17$ og $b = 90$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddsfunksjonen er

O(x) = I(x) - K(x) = -0{,}14x^2 + 74x - 0{,}03x^2 - 20x - 500

O(x) = -0{,}17x^2 + 54x - 500

Graf over overskuddsfunksjonen

Vi finner maksimum ved å sette $O'(x) = 0$ :

GeoGebra CAS: overskuddsfunksjon

Fra linje 4 ser vi at $O'(x) = 0$ gir $x = \dfrac{2700}{17} \approx 158{,}8$ .

Fra linje 5 ser vi at $O\!\left(\dfrac{2700}{17}\right) = \dfrac{64\,400}{17} \approx 3788$ .

Bedriften må produsere og selge ca. $\underline{\underline{159 \mathrm{~enheter}}}$ per dag for størst overskudd. Overskuddet blir da ca. $\underline{\underline{3788 \mathrm{~kr}}}$ .

Inntekten med prisfunksjonen $p(x) = ax + b$ er

I(x) = x \cdot p(x) = ax^2 + bx

Overskuddet blir

O(x) = I(x) - K(x) = ax^2 + bx - 0{,}03x^2 - 20x - 500

O(x) = (a - 0{,}03)x^2 + (b - 20)x - 500

Krav 1: Størst overskudd ved $x = 175$ , altså $O'(175) = 0$ :

O'(x) = 2(a - 0{,}03)x + (b - 20)

O'(175) = 350(a - 0{,}03) + (b - 20) = 0

350a + b = 30{,}5 \quad \text{(I)}

Krav 2: $O(175) = 5625$ :

(a - 0{,}03) \cdot 175^2 + (b - 20) \cdot 175 - 500 = 5625

30625a - 918{,}75 + 175b - 3500 - 500 = 5625

30625a + 175b = 10543{,}75 \quad \text{(II)}

Fra (I): $b = 30{,}5 - 350a$ . Innsatt i (II):

30625a + 175(30{,}5 - 350a) = 10543{,}75

30625a + 5337{,}5 - 61250a = 10543{,}75

-30625a = 5206{,}25

\underline{\underline{a = -0{,}17}}

\underline{\underline{b = 30{,}5 - 350 \cdot (-0{,}17) = 90}}

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: optimering, derivasjon, økonomi
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon