Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Ved produksjon av en vare er etterspørselen $E (p)$ enheter per uke uttrykt ved

E (p) = - 0,5 p + 80 p \in [10, 70]

Prisen $p$ per enhet er gitt i kroner.

Inntektene per uke kan uttrykkes ved funksjonen $I (p)$ . Produksjonen legges opp slik at det produseres like mange enheter som det selges. Kostnadene knyttet til produksjonen er gitt ved funksjonen

K (x) = 8 x^{2} - 1200 x + 45 600

der $x = E (p)$ er antall produserte og solgte enheter.

Kalkulator

Vis at funksjonsuttrykkene til $I (p)$ og $K (p)$ er gitt ved

I (p) = - 0,5 p^{2} + 80 p

K (p) = 2 p^{2} - 40 p + 800

Kalkulator

Hvilken pris gir størst overskudd?

Kalkulator

Hvor mange enheter per uke produseres det når overskuddet er størst?

Ved produksjon av en annen vare er etterspørselen per uke gitt ved

g (x) = 200 \cdot e^{0,02 x} x \in [1, 26]

$x = 1$ betyr uke nr. 1, og $x = 2$ betyr uke nr. 2 i produksjonstiden osv. Også for denne varen produseres det like mange enheter per uke som det selges.

Kalkulator

Tegn grafen til $g$ . I hvilken uke er etterspørselen $270$ enheter? Finn svaret både grafisk og ved regning.

Kalkulator

Hvor mange enheter produseres det i løpet av det halve året?

Fasit

$I (p) = - 0,5 p^{2} + 80 p$ , $K (p) = 2 p^{2} - 40 p + 800$

$p = 24 kr$

$x = 68 enheter$

$x \approx 15$ , altså uke $15$

$\approx 6889 enheter$

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, $I (p) = p \cdot E (p)$ :

I (p) = p (- 0,5 p + 80) = - 0,5 p^{2} + 80 p

Kostnadene er gitt ved $K (x)$ der $x = E (p)$ , altså setter vi $E (p)$ inn for $x$ i $K (x)$ :

K (p) = 8 {(- 0,5 p + 80)}^{2} - 1200 (- 0,5 p + 80) + 45 600

Vi regner ut hvert ledd. Kvadratet blir

{(- 0,5 p + 80)}^{2} = 0,25 p^{2} - 80 p + 6400

8 {(- 0,5 p + 80)}^{2} = 2 p^{2} - 640 p + 51 200

- 1200 (- 0,5 p + 80) = 600 p - 96 000

Legger vi sammen alle leddene:

K (p) = 2 p^{2} - 640 p + 51 200 + 600 p - 96 000 + 45 600 = 2 p^{2} - 40 p + 800

Dette stemmer med det vi skulle vise. Dette er også bekreftet med GeoGebra CAS (se s2-v10-2-6a.png, linje 5–6, der $O (p) = I (p) - K (E (p))$ regnes ut med $I (p)$ og $K (p)$ substituert direkte).

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O (p) = I (p) - K (p) = - 0,5 p^{2} + 80 p - (2 p^{2} - 40 p + 800) = - 2,5 p^{2} + 120 p - 800

Vi deriverer og setter den deriverte lik null for å finne toppunktet, se s2-v10-2-6a.png (linje 7–8):

O^{'} (p) = - 5 p + 120 = 0 \Rightarrow p = 24

Siden $O^{''} (p) = - 5 < 0$ , er dette et toppunkt (maksimum), og $p = 24 \in [10,70]$ er innenfor det gyldige intervallet. CAS gir $O (24) = 640$ (linje 9).

CAS-utregning for a, b og c

Størst overskudd oppnås ved prisen

p = 24 kr

Antall produserte enheter ved $p = 24$ er $x = E (24)$ . Fra CAS (linje 10 i s2-v10-2-6a.png) er $E (24) = 68$ . Det produseres altså

x = 68 enheter per uke

Grafen til $g (x) = 200 \cdot e^{0,02 x}$ er en voksende eksponentialkurve, fra $g (1) \approx 204$ enheter i uke 1 til $g (26) \approx 332$ enheter i uke 26. Grafisk finner vi uken der etterspørselen er $270$ enheter ved å lese av $x$ -verdien der grafen til $g$ skjærer den vannrette linjen $y = 270$ ; dette skjer omtrent ved $x \approx 15$ .

Ved regning løser vi likningen $g (x) = 270$ :

200 \cdot e^{0,02 x} = 270 \Rightarrow e^{0,02 x} = 1,35 \Rightarrow x = \frac{\ln (1,35)}{0,02}

CAS gir $x \approx 15,005$ (se s2-v10-2-6de.png, linje 2).

CAS-utregning for d og e

Siden $x$ må være et helt uketall, blir etterspørselen $270$ enheter i

uke 15

Samlet produksjon over det halve året (26 uker) er summen

\sum_{x = 1}^{26} g (x) = \sum_{x = 1}^{26} 200 \cdot e^{0,02 x}

Dette er en geometrisk rekke med $a_{1} = 200 \cdot e^{0,02}$ og kvotient $k = e^{0,02}$ . CAS gir summen direkte (se s2-v10-2-6de.png, linje 3):

\sum_{x = 1}^{26} g (x) \approx 6888,71

Siden dette er antall enheter, produseres det totalt omtrent

6889 enheter

i løpet av det halve året.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2010, del 2, oppgave 6-I
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Optimering, Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad

Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer