Oljefondet og eksponentiell modell

Oljefondet (Statens pensjonsfond utland) ble opprettet etter at vi fant olje i Nordsjøen. Formålet med oljefondet er å sikre framtiden i norsk økonomi.

Figuren nedenfor viser utviklingen av oljefondet fra og med 1998 til og med 2024.

Utvikling av oljefondet 1998–2024

Lag en modell $O(t)$ som tilnærmet viser utviklingen av den totale verdien av oljefondet i hele perioden. Husk å begrunne valg av modell.

I resten av oppgaven skal du bruke funksjonen $V$ gitt ved

V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^{t}

som modell for den totale verdien av oljefondet i milliarder kroner $t$ år etter 1998.

Bestem $V(20)$ og $V'(20)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Sammenlign den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallene $[0, 10]$ og $[16, 26]$ .

Fasit

$O(t) = 330 \cdot 1{,}18^{t}$ (eksponentiell modell, se begrunnelse)

$\underline{\underline{V(20) \approx 8843 \, \mathrm{mrd\,kr}}}$ , $\underline{\underline{V'(20) \approx 1454 \, \mathrm{mrd\,kr/år}}}$

Gjennomsnittlig vekstfart $[0, 10]$ : $\approx 138 \, \mathrm{mrd\,kr/år}$ . Gjennomsnittlig vekstfart $[16, 26]$ : $\approx 1913 \, \mathrm{mrd\,kr/år}$ . Vekstfarten er ca. 14 ganger så stor i den siste perioden.

LøsningsforslagKI-generert

Grafen viser en kurve som vokser stadig raskere — verdien mangedobles over perioden og øker prosentvis omtrent like mye hvert år. Det tyder på eksponentiell vekst, ikke lineær.

Vi avleser to punkter fra grafen:

t = 0 \text{ (1998): } O \approx 330 \text{ mrd kr}

t = 26 \text{ (2024): } O \approx 19\,700 \text{ mrd kr}

En eksponentiell modell har formen $O(t) = a \cdot b^{t}$ . Vi setter $a = 330$ (startverdi) og bestemmer $b$ fra

330 \cdot b^{26} = 19\,700 \implies b = \left(\frac{19\,700}{330}\right)^{1/26} \approx 1{,}17

Modell: $\underline{\underline{O(t) \approx 330 \cdot 1{,}18^{t}}}$

Modellen passer godt med den gitte $V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^{t}$ .

Vi bruker GeoGebra CAS med $V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^{t}$ :

GeoGebra CAS — V(20) og V'(20)

V(20) = 330 \cdot 1{,}1787^{20} \approx \underline{\underline{8843 \, \mathrm{mrd\,kr}}}

V'(t) = 330 \cdot 1{,}1787^{t} \cdot \ln(1{,}1787) \approx 54{,}26 \cdot e^{0{,}16441t}

V'(20) \approx \underline{\underline{1454 \, \mathrm{mrd\,kr/år}}}

Tolkning: I år 2018 ( $t = 20$ ) var oljefondet verdt ca. $8843$ milliarder kroner, og verdien økte med ca. $1454$ milliarder kroner per år.

Vi beregner gjennomsnittlig vekstfart i hvert intervall (se CAS-utklippet over):

\frac{V(10) - V(0)}{10} \approx \frac{1708 - 330}{10} \approx \underline{\underline{138 \, \mathrm{mrd\,kr/år}}}

\frac{V(26) - V(16)}{10} \approx \frac{19\,700 - 4581}{10} \approx \underline{\underline{1913 \, \mathrm{mrd\,kr/år}}}

Forholdet mellom vekstfartene:

\frac{1913}{138} \approx \underline{\underline{13{,}9}}

Vekstfarten i perioden $[16, 26]$ er ca. 14 ganger så stor som i $[0, 10]$ . Dette er som forventet for en eksponentiell funksjon — prosentveksten er konstant, men siden grunnlaget er mye større mot slutten, øker den absolutte veksten kraftig.

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å utføre en regresjon og 1 poeng for å begrunne valg av modell.

2 poeng

1 poeng for å finne $V(20)$ og $V'(20)$ og 1 poeng for den praktiske tolkningen. Kandidater som finner en av verdien og har en praktisk tolkning av den kan få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne de to verdiene og 1 poeng for å sammenlikne verdiene.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: eksponentiell vekst, modellering, gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer