Normalfordelt intelligens

Intelligenskvotienten (IQ) er et mål på intelligensen til en person. Antall poeng som en tilfeldig person skårer på en IQ-test $X$ antar vi i denne oppgaven å være normalfordelt med forventningsverdi $\mu=100$ og standardavvik $\sigma=15$ .

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil skåre mindre enn 95 poeng på en slik IQ-test.

Mensa Norge er en forening for de skårer høyest på slike IQ-tester. Kun 2 % av befolkningen kan bli medlem av Mensa.

Hvor mange poeng må du minst skåre på en slik test, for å kunne bli medlem av Mensa?

Fasit

ca. $37 \,\%$

minst $131$ IQ-poeng

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma = 15$ .

Vi standardiserer og slår opp i normalfordelingstabellen:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{95 - 100}{15} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33

Fra normalfordelingstabellen:

P(X < 95) = P(Z < -0{,}33) \approx 0{,}3707

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person skårer under 95 poeng er $\underline{\underline{\approx 37 \,\%}}$ .

Vi vil finne $x$ slik at $P(X \geq x) = 0{,}02$ , altså $P(X < x) = 0{,}98$ .

Vi slår opp baklengs i normalfordelingstabellen og finner $z$ -verdien der $\Phi(z) = 0{,}98$ :

z \approx 2{,}05

Nå regner vi om til IQ-poeng:

x = \mu + z \cdot \sigma = 100 + 2{,}05 \cdot 15 = 100 + 30{,}75 = 130{,}75

Siden IQ-skåren er et heltall, runder vi opp:

x = 131

Du må minst skåre $\underline{\underline{131}}$ IQ-poeng for å bli medlem av Mensa.

Oppgavedata

Temaer: standard normalfordeling, normalfordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen