Normalfordelt hoppkonkurranse

Tre skihoppere skal delta i en hoppkonkurranse. Tabellen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for lengden på et hopp for hver av de tre hopperne. Vi antar at lengden på hoppene er uavhengig og normalfordelt.

	Forventningsverdi	Standardavvik
Birger	70 meter	20 meter
Maren	80 meter	5 meter
Espen	75 meter	10 meter

Gjør beregninger for hver skihopper, og bestem sannsynligheten for at skihopperen hopper lenger enn 90 meter i et tilfeldig hopp.

I første omgang hoppet Maren 83 meter.

Bestem sannsynligheten for at Maren hoppet lengst i denne omgangen.

I andre omgang gjør alle et nytt hopp.

Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst i denne omgangen.

Fasit

0,1587, 0,0228 og 0,0668

0,5849

Omtrent 47,4 %

Løsningsforslag

La $B, M \text{ og } E$ være lengdene av hoppene til henholdsvis Birger, Maren og Espen.

Vi bestemmer sannsynligheten for at hver av dem hopper 90 meter eller lengre ved hjelp av sannsynlighetsvinduet i GeoGebra, se skjermbildet under. (Kun Birgers utklipp er vist).

Sannsynligheten for at Birger hopper 90 meter eller lengre

\textcolor{orange}{P(B>90)}=0{,}1587 ,\quad \textcolor{seagreen}{P(M>90)}=0{,}0228, \quad \textcolor{steelblue}{P(E>90)}=0{,}0668

Sannsynlighetene for at Birger, Maren og Espen hopper lengre enn 90 meter er i ett tilfeldig hopp er henholdsvis 0,1587, 0,0228 og 0,0668.

Hvis Maren skal hoppe lengst med et hopp på 83 meter så må både $B<83$ og $E < 83$ . Vi kan bruke multiplikasjonsprinsippet for å finne sannsynligheten for at begge disse utfallene skjer samtidig. Igjen bestemmer vi sannsynligheten ved hjelp av sannsynlighetsvinduet i GeoGebra.

Sannsynligheten for at Birger hopper kortere enn 83 meter

\begin{aligned} P(\text{Maren vinner med 83 m}) &= \textcolor{orange}{P(B<83)}\cdot \textcolor{steelblue}{P(E<83)}\\ &= \textcolor{orange}{0{,}7422} \cdot \textcolor{steelblue}{0{,}7881} = \underline{\underline{0{,}5849}} \end{aligned}

Sannsynligheten for at Maren vinner med et hopp på 83 meter er 0,5849.

Vi lager en simulering i Python hvor vi trekker hopplengder ut fra normalfordelingene til $B$ , $M$ og $E$ . Deretter sjekker vi om Marens hopp er det lengste hoppet.

from random import gauss
N = 100_000
antall_gunstige = 0

for i in range(N):
    # Trekker hopplengder fra normalfordelingene
    B = gauss(70, 20)
    M = gauss(80, 5)
    E = gauss(75, 10)

    # Sjekker om Marens hopp er lengre enn både Espens og Birgers
    if (M > B and M > E):
        antall_gunstige += 1

ssh = antall_gunstige / N

print(f"Det er omtrent {ssh * 100:.2f} % sannsynlighet for at Maren hopper lengst i andre omgang")

Etter å ha kjørt programmet flere ganger ser jeg at sannsynligheten er stabil på omtrent 47,4 %.

Det er omtrent 47,4 % sannsynlighet for at Maren hopper lengst i andre omgang.

Sensorveiledning

Riktig sannsynlighet for 1 skihopper kan gi 1 poeng.

Riktig strategi kan gi 1 poeng.

Simulering med en god strategi, men feil svar, kan få 1 poeng. Simulering med riktig strategi, men med små feil som fører til feil svar, kan få 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: normalfordeling, simulering, programmering, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter