Vi tegner grafen til $f(x)=e^{-\frac{{(x-5)}^2}{2}}$ med GeoGebra. Vendepunktene $V{P}_1=(4,e^{-1/2})$ og $V{P}_2=(6,e^{-1/2})$ er markert med grønne punkter.

Vi skal bestemme $f^{\prime }(x)$ og $f^{\prime \prime }(x)$ og vise at

Første deriverte — kjerneregelen

Vi skriver $f(x)=e^{u(x)}$ der den indre funksjonen er

Den deriverte av den indre funksjonen er

Med kjerneregelen $(e^{u(x)}{)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot e^{u(x)}$ får vi

Andre deriverte — produktregelen

Vi skriver $f^{\prime }(x)=g(x)\cdot h(x)$ der

Produktregelen gir $f^{\prime \prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$.

Vi har $g^{\prime }(x)=-1$ og $h^{\prime }(x)=-(x-5)e^{-\frac{{(x-5)}^2}{2}}$ (samme kjerneregel som over), så

Vi utvider ${(x-5)}^2-1=x^2-10x+25-1=x^2-10x+24$ og får

som er det vi skulle vise.

Vendepunkter

Vendepunkter oppstår der $f^{\prime \prime }(x)=0$. Siden $e^{-\frac{{(x-5)}^2}{2}}>0$ for alle $x$, må

Vi faktoriserer: $x^2-10x+24=(x-4)(x-6)=0$, som gir $x=4$ eller $x=6$.

Vi sjekker at $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn i begge punktene (fra $+$ til $-$ ved $x=4$, og fra $-$ til $+$ ved $x=6$) — begge er altså vendepunkter.

$y$-koordinatene:

Vi kan også bruke CAS til å bekrefte derivasjon og løsning:

Vendepunktene er $(4,e^{-1/2})$ og $(6,e^{-1/2})$.

Merk at $\mu =5$ og $\sigma =1$, og vendepunktene ligger ved $\mu -\sigma =4$ og $\mu +\sigma =6$ — dette er en generell egenskap ved normalfordelingens tetthetsfunksjon.

$a=4$ og $b=6$ er $x$-koordinatene til vendepunktene. Vi skal beregne

Fra CAS-utregningen (linje 5 i skjermbildet over) får vi det eksakte svaret uttrykt med feilfunksjonen $\text{erf}$:

$P(4<X<6)\approx \underline{\underline{\mathrm{0,6827}}}$

Det betyr at omtrent $\mathrm{68,27}\%$ av observasjonene for en normalfordelt variabel med $\mu =5$ og $\sigma =1$ faller innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet.