Non Stop K-mønster og programmering

Tre K-er laget av Non Stop-drops, merket K_1, K_2 og K_3

Kari har brukt Non Stop og laget tre K-er. Se ovenfor. Tenk deg at hun skal fortsette å lage K-er etter samme mønster.

Beskriv mønsteret, og bestem hvor mange Non Stop det vil være i $K_4$ og i $K_5$ .

Kari ønsker å lage et program som finner antall Non Stop hun trenger for å lage hver av de 20 første K-ene. Hun ønsker også å vite hvor mange Non Stop hun trenger til sammen for å lage alle disse 20 K-ene.

Lag et program som Kari kan bruke. Du kan for eksempel begynne som vist nedenfor, men legge inn formler i stedet for tallet én i linje 14 og 15 slik at den riktige oversikten skrives ut.

# Startverdier
nonstop_figur = 10
nonstop_totalt = 10

# Overskrifter
print("Figurnummer     Non Stop i figur     Non Stop totalt")

for figurnummer in range(1, 21):

    # Skriver ut i tre kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t\t"
    print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")

    nonstop_figur = 1
    nonstop_totalt = 1

Hvor mange Non Stop trenger Kari til sammen for å lage de 20 første K-ene?

Kari har 2000 Non Stop. Hun vil begynne med $K_1$ og lage én K i hver størrelse.

Hvor mange K-er kan Kari lage?

Fasit

Hver K har 4 flere Non Stop enn den forrige. $K_4 = \underline{\underline{22}}$ og $K_5 = \underline{\underline{26}}$ .

Se program under.

$\underline{\underline{960}}$ Non Stop totalt.

Kari kan lage $\underline{\underline{29}}$ K-er.

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller Non Stop i hver figur:

Figur	Non Stop
$K_1$	10
$K_2$	14
$K_3$	18

Mønsteret er at hver K har 4 flere Non Stop enn den forrige. Vi kan beskrive dette som $K_n = K_{n-1} + 4$ der $K_1 = 10$ , eller med en eksplisitt formel $K_n = 4n + 6$ .

Derfor er:

K_4 = 18 + 4 = \underline{\underline{22}}

K_5 = 22 + 4 = \underline{\underline{26}}

Vi starter med nonstop_figur = 10 (antall Non Stop i $K_1$ ) og nonstop_totalt = 10. I løkken skriver vi ut verdiene for figuren, og oppdaterer deretter til neste figur ved å legge til 4.

nonstop_figur = 10
nonstop_totalt = 10
print("Figurnummer     Non Stop i figur     Non Stop totalt")
for figurnummer in range(1, 21):
    print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")
    nonstop_figur = nonstop_figur + 4
    nonstop_totalt = nonstop_totalt + nonstop_figur

Programmet skriver ut:

Figurnummer     Non Stop i figur     Non Stop totalt
1			10			10
2			14			24
3			18			42
4			22			64
5			26			90
6			30			120
7			34			154
8			38			192
9			42			234
10			46			280
11			50			330
12			54			384
13			58			442
14			62			504
15			66			570
16			70			640
17			74			714
18			78			792
19			82			874
20			86			960

Fra utskriften til programmet leser vi av at totalen for de 20 første K-ene er $\underline{\underline{960}}$ Non Stop.

Vi kan også beregne dette med formelen $K_n = 4n + 6$ :

\sum_{n=1}^{20} (4n + 6) = 4 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} + 6 \cdot 20 = 840 + 120 = \underline{\underline{960}}

Vi setter opp en formel for totalt antall Non Stop etter $n$ K-er:

S(n) = \sum_{k=1}^{n} (4k + 6) = \frac{4n(n+1)}{2} + 6n = 2n^2 + 8n

Vi prøver systematisk:

$n$	$S(n) = 2n^2 + 8n$
28	$2 \cdot 784 + 224 = 1792$
29	$2 \cdot 841 + 232 = 1914$
30	$2 \cdot 900 + 240 = 2040$

$S(29) = 1914 \leq 2000$ , men $S(30) = 2040 > 2000$ .

Kari kan lage $\underline{\underline{29}}$ K-er med 2000 Non Stop.

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidaten beskrive mønsteret i tillegg til å bestemme riktig antall Non Stop i $K_4$ og $K_5$ .

10 poeng

En kandidat som gjør endringer i koden eller lager en egen kode, men ikke får skrevet ut en riktig oversikt, kan få noe uttelling.

Nærmere presiseringer kan komme etter sensorskoleringen.

En kandidat som har løst oppgaven riktig, men ikke brukt programmet sitt fra oppgave b), får full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: mønstre, figurtall, programmering
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane