Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser:

Den ene slipper ut $5000\mathrm{~tonn}$ per år
Den andre slipper ut $1000\mathrm{~tonn}$ per år.

Ledelsen mener funksjonen

U(x)=5000\cdot0{,}95^x+1000

er en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år etter $x$ år.

Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.

Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?

Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter $10$ år ifølge modellen?

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,U(0))$ og $(30,U(30))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Myndighetene har krevd at utslippet skal reduseres til $800\text{ tonn}$ per år.

Vurder om det ifølge modellen $U$ er mulig å oppfylle dette kravet.

Fasit

Den ene prosessen reduseres med $5\%$ per år, den andre holdes konstant på $1000\text{ tonn}$ .

$18$ år.

$33{,}4\%$ reduksjon.

Stigningstallet ≈ $-131$ , som betyr en gjennomsnittlig årlig nedgang på $131\text{ tonn}$ de første 30 årene.

Nei, modellen har alltid $U(x)>1000$ og vil aldri nå $800$ ).

Løsningsforslag

$U(x)$ består av to ledd: $\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}$ og $\textcolor{seagreen}{1000}$ .

$\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}$ er en eksponentialfunksjon som synker med 5 % for hvert år. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 5000 tonn per år kommer til å reduseres med 5 %.
$\textcolor{seagreen}{1000}$ er en konstant funksjon, denne verdiene endrer seg altså ikke i framtiden. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 1000 tonn per år kommer til å fortsette på samme måte i framtiden.

Ledelsen ønsker å minke utslippet fra den ene prosessen med 5 % per år, og ikke gjøre noe med den andre prosessen.

Til de neste oppgavene har jeg brukt GeoGebra til å regne ut svarene, se figur figur 1.

For å finne antall år før utslippene blir halvert har jeg lagt ut linja $y=\frac{6000}{2}$ og funnet skjæringen med $U$ , se punkt $A$ .

Utslippene vil være halvert til 3000 tonn per år etter 18 år.

For å finne utslippet etter 10 år har jeg lagt ut linja $x=10$ og funnet skjæringen med $U$ , se punkt $B$ . Utslippene er 3993,7 tonn etter 10 år.

Jeg har beregnet den prosentvise endringen i algebrafeltet, se linjen merket c) ProsEndring.

Utslippene har minket med 33,4 % etter 10 år.

Jeg la ut punktene $C(0,U(0))$ og $D(30,U(30))$ i GeoGebra og trakk en linje mellom dem. Etter å ha ordnet uttrykket for linja ser jeg at stigningstallet til linja er $-130{,}9$ .

Stigningstallet til linja er omtrent -131, dette betyr at utslippene i gjennomsnitt minker med 131 tonn per år hvert år i løpet av de 30 første årene.

Jeg sjekket dette ved å lete etter skjæringen i mellom $y=800$ og $U(x)$ i GeoGebra. Da fikk jeg svaret Udefinert siden disse funksjonene ikke skjærer hverandre. Dette kunne jeg også sett fra funksjonsuttrykket med leddet $+1000$ , som gjør at $U(x)$ alltid vil være større enn 1000.

Det er ikke mulig å komme ned til 800 tonn per år med dagens modell.

Sensorveiledning

2,3 poeng

For å få uttelling må det gå klart fram at det er utslippet fra den ene prosessen som skal reduseres.

2,3 poeng

En kandidat som finner utslippet etter 10 år og gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2,3 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten finne riktig stigningstall og tolke dette som gjennomsnitt per år.

En kandidat tegner grafen sammen med linja $y=800$ , må argumentere for at grafen ikke vil skjære linja for å få uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: eksponentialfunksjoner, geogebra, funksjoner
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy