Modell for Hannes løping

For ni uker siden begynte Hanne å løpe. Tabellen nedenfor viser hvor lenge hun klarte å løpe sammenhengende noen av dagene disse ukene:

Dag	1	8	22	36	50	64
Antall minutter løpt sammenhengende	10	20	28	33	37	40

Utviklingen kan beskrives med en modell gitt på formen

L(x) = a \cdot x^b \quad , \quad x \geq 1

der $L(x)$ er antall minutter Hanne klarte å løpe sammenhengende på dag $x$ .

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ .
b) Hvor mange uker vil det ta før Hanne klarer å løpe 45 minutter sammenhengende ifølge modellen?
c) Hvor mange minutter har tiden Hanne klarer å løpe sammenhengende, økt med i gjennomsnitt per dag fra dag 1 til dag 60 ifølge modellen?

Fasit

$a \approx 10$ , $b \approx 0{,}334$

Omtrent $13$ uker fra start (ca. 4 uker fra nå)

$\approx 0{,}5 \, \mathrm{min/dag}$

Løsningsforslag

Vi skal bestemme $a$ og $b$ i modellen $L(x) = a \cdot x^b$ .

Vi bruker kalkulator (regresjon med potensmodell) på datapunktene:

$x$	$1$	$8$	$22$	$36$	$50$	$64$
$L$	$10$	$20$	$28$	$33$	$37$	$40$

Regresjonen gir $a \approx 10$ og $b \approx 0{,}334$ .

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-6a

Grafen viser at modellen passer godt til datapunktene.

$\underline{\underline{a \approx 10 \text{ og } b \approx 0{,}334}}$ , slik at $L(x) \approx 10 \cdot x^{0{,}334}$ .

Vi vil finne $x$ slik at $L(x) = 45$ . Vi tegner linjen $y = 45$ og finner skjæringspunktet med $L(x)$ :

$Graf av L(x) = 10 \cdot x^{0{,}334} med linjen y = 45$

Fra grafen leser vi av at $L(x) = 45$ når $x \approx 91$ dager.

$91$ dager $\approx 13$ uker fra dag 1. Hanne begynte for 9 uker siden, så det er omtrent $13 - 9 = 4$ uker til hun klarer målet.

Ifølge modellen vil det ta omtrent $\underline{\underline{13 \text{ uker}}}$ fra Hanne startet (ca. 4 uker fra nå) før hun klarer å løpe 45 minutter sammenhengende.

Gjennomsnittlig økning per dag fra dag 1 til dag 60:

\frac{L(60) - L(1)}{60 - 1} = \frac{10 \cdot 60^{0{,}334} - 10 \cdot 1^{0{,}334}}{59} \approx \frac{39{,}2 - 10{,}0}{59} \approx 0{,}495

Hanne har i gjennomsnitt økt løpetiden med omtrent $\underline{\underline{0{,}5 \, \mathrm{min/dag}}}$ fra dag 1 til dag 60 ifølge modellen.

Sensorveiledning

1 poeng

En kandidat som ikke kommer fram til riktig modell i oppgave a), kan få full uttelling for riktig framgangsmåte i oppgave b) og c).

1 poeng

En kandidat som ikke kommer fram til riktig modell i oppgave a), kan få full uttelling for riktig framgangsmåte i oppgave b) og c).

1 poeng

En kandidat som ikke kommer fram til riktig modell i oppgave a), kan få full uttelling for riktig framgangsmåte i oppgave b) og c).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: modellering, regresjon
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane