Logistisk vekst for et produkt

For et år siden begynte en butikk å selge et nytt produkt. Funksjonen $f$ gitt ved

f(t)=\frac{700}{1+20e^{-0{,}12t}}

er en god modell for antallet enheter butikken har solgt av produktet per uke, $t$ uker etter at produktet kom i salg.

Når økte slaget raskest, ifølge modellen, og hvor mye økte salget da?

Hvor lang tid gikk det før det samlede salget passerte 2000 enheter, ifølge modellen?

Inntekten fra salget av produktet har vært 1 000 000 kroner det første året.

Hvilken pris har butikken solgt produktet for?

Fasit

Uke 25, 21 enheter per uke

18,83 uker

53 kr

Løsningsforslag S2 eksamen V2024

Løsningsforslag

CAS-utklipp til oppgave 2-1

Jeg ser at funksjonen er logistisk og jeg vet at den største vekstfarten er i vendepunktet.

Jeg finner vendepunktet i GeoGebra, se linje 2 i utklippet, vendepunktet er ved 25 enheter solgt. Vekstfarten ved 25 solgte enheter finner jeg ved å bestemme $f'(25)$ i linje 3.

Salget økte raskest i uke 25, da økte salget med 21 enheter per uke.

Vi kan finne det samlede salget ved å bestemme arealet under grafen til $f$ .

I linje 4 setter jeg opp likningen

\int_{0}^{x} f(t) \, dt=2000

Det tok nesten 19 uker før salget passerte 2000 enheter.

Inntektene fra salget må være gitt ved antall enheter solgt $\times$ pris per enhet.

I linje 5 setter jeg opp likningen

\int_{0}^{52} f(t) \, dt \cdot p = 1\, 000 \, 000

der $p$ er den ukjente prisen per enhet.

Butikken har solgt produktet for 53 kr.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: økonomi, logistisk funksjon, samlet mengde, integral, derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon