Logistisk salg av brannvarslingssystemer

Sikkerhetsselskapet SaifY skal lansere et nytt brannvarslingssystem i en by med 2 millioner husstander. SaifY regner med at antallet husstander som har brannvarslingssystemet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $B$ gitt ved

B(t)=\frac{1700000}{1+500 e^{-0,07 t}}

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet, ifølge modellen?

Bestem $B^{\prime}(52)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten UnSaif planlegger å lansere et brannvarslingssystem med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til SaifY.

Etter å ha hørt om planene til UnSaif antar SaifY at

de totalt vil få solgt brannvarslingssystemet sitt til en million husstander
fire tusen husstander har brannvarslingssystemet når det lanseres
flest nye husstander kjøper brannvarslingssystemet i uke 65

Bruk antakelsene ovenfor til å lage en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har brannvarslingssystemet etter $t$ uker.

Fasit

94 uker

7827,7

$F(t)=\frac{1000000}{1+249e^{-0{,}0849t}}$

Løsningsforslag

Logistisk modell for brannalarmer i by

Jeg la inn modellen i GeoGebra og la inn linja $y=1\,000\,000$ for å sjekke når halvparten hadde fått systemet. Jeg fant skjæringen med $B$ i punktet $A=(93{,}88, 1000000)$ .

Det tar 94 uker før halvparten av husstandene i byen har brannvarslingssystemet ifølge modellen.

Se nederst i GeoGebra-utklippet.

\underline{\underline{B'(52)=7827{,}7}}

Etter 52 uker (ett år) så selges brannvarslingssystemet til omtrent 7828 husstander per uke.

En logistisk modell er gitt ved

f(x)=\frac{N}{1+a \cdot e ^{-kx}}

$N$ er «bæreevnen» eller maksimalverdien for funksjonen
$\frac{N}{1+a}$ vil være funksjonsverdien når $x=0$
Vi har raskest vekst i vendepunktet som vi finner i $\left( \frac{\ln a}{k} , \frac{N}{2}\right)$

Med bakgrunn i opplysningene i oppgaveteksten kan vi bestemme $\textcolor{orange}{N=1\,000\,000}$ siden dette er antallet husstander de totalt selger til.

Videre vet vi at det er 4000 husstander som har systemet ved $x=0$ , derfor må

\frac{\textcolor{orange}{N}}{1+a}=4000 \iff \frac{1000\cancel{ 000 }}{1+a}=4\cancel{ 000 } \iff \frac{1000}{4} = 1+a \iff \textcolor{seagreen}{a=250-1=249}

Til sist vet vi at vendepunktet (den raskeste veksten) er i uke 65, altså må

\frac{\ln \textcolor{seagreen}{a}}{k} =65 \iff \frac{\ln \textcolor{seagreen}{249}}{k}=65 \iff 5{,}517=65k \iff \textcolor{steelblue}{k=\frac{5{,}517}{65}=0{,}0849}

En logistisk modell som passer til dataene vil være

\underline{\underline{F(t)=\frac{1 \, 000 \, 000}{1+249e^{-0{,}0849t}}}}

Sensorveiledning

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for tolkning av verdien.

Kandidater som systematiserer og finner sammenhenger uten å komme fram til riktig modell kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: logistisk funksjon, modellering, derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon