Logistisk modell og regresjon for to firmaer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et firma A importerer og selger et produkt. Antall solgte enheter per år kan beskrives ved modellen

f (x) = \frac{333}{1 + 1,45 e^{- 0,23 x}}

der $x$ er antall år etter 2006.

Kalkulator

Hvor mange enheter solgte firma A i 2012 ifølge denne modellen?

Et konkurrerende firma B importerer og selger et tilsvarende produkt. Antall solgte enheter per år i firma B ser du i tabellen nedenfor.

Antall år etter 2006	0	1	2	3	4	5	6
Antall solgte enheter per år	135	154	176	192	211	228	243

Krever PC

Bestem ut fra disse tallene en logistisk modell som viser antall solgte enheter per år i firma B.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvilket firma vil i det lange løp selge flest enheter per år ifølge de to modellene?

Oppsett for hånd

Hvor mange enheter forventes det at hvert av de to firmaene importerer og selger totalt i årene fra og med 2006 til og med 2015?

Fasit

$f (6) \approx 244 e n h e t e r$

$g (x) \approx \frac{317,2}{1 + 1,35 \cdot e^{- 0,247 x}}$

Firma A vil på lang sikt selge flest enheter per år (tak $333$ mot $317$ ).

Firma A: $\approx 1943 enheter totalt$ , firma B: $\approx 1934 enheter totalt$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 6$ (år etter 2006, dvs. 2012) i modellen for firma A:

f (6) = \frac{333}{1 + 1,45 \cdot e^{- 0,23 \cdot 6}} = \frac{333}{1 + 1,45 \cdot e^{- 1,38}} \approx \frac{333}{1 + 1,45 \cdot 0,2518} \approx \frac{333}{1,365} \approx 244

Firma A solgte omtrent $244 e n h e t e r$ i 2012.

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra og bruker FitLogistic for å finne en logistisk regresjonsmodell. La $x$ være antall år etter 2006.

I GeoGebra (grafvindu):

l_B = {(0,135), (1,154), (2,176), (3,192), (4,211), (5,228), (6,243)}
g(x) = FitLogistic(l_B)

Logistisk regresjon firma B og sammenligning med firma A

GeoGebra gir regresjonsmodellen for firma B:

g (x) \approx \frac{317,2}{1 + 1,35 \cdot e^{- 0,247 x}}

der parametrene er:

$a \approx 317,2$ (tak-verdi, maks antall solgte enheter per år)
$b \approx 1,35$
$c \approx 0,247$ (vekstrate)

Modellen for firma B er $g (x) \approx \frac{317,2}{1 + 1,35 \cdot e^{- 0,247 x}}$

I en logistisk modell $\frac{a}{1 + b \cdot e^{- c x}}$ vil funksjonsverdien nærme seg $a$ når $x \to \infty$ . Parameteren $a$ kalles tak-verdien og angir maksimalt antall solgte enheter per år på lang sikt.

Firma A: tak-verdi $= 333$ enheter per år
Firma B: tak-verdi $\approx 317$ enheter per år

Grafene bekrefter dette – den blå kurven (firma A) flater ut høyere enn den grønne kurven (firma B), se grafen ovenfor.

Firma A vil i det lange løp selge flest enheter per år ( $333$ mot $317$ ).

Totalt antall solgte enheter fra 2006 (= $x = 0$ ) til og med 2015 (= $x = 9$ ) finner vi ved de bestemte integralene:

\int_{0}^{9} f (x) d x og \int_{0}^{9} g (x) d x

Vi beregner dette i GeoGebra:

Integral(f, 0, 9)   →  ≈ 1943
Integral(g, 0, 9)   →  ≈ 1934

Firma A: $\int_{0}^{9} f (x) d x \approx 1943 e n h e t e r$
Firma B: $\int_{0}^{9} g (x) d x \approx 1934 e n h e t e r$

Firma A forventes å selge totalt ca. $1943 e n h e t e r$ og firma B ca. $1934 e n h e t e r$ i perioden 2006–2015.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

b), c) og d) Vær oppmerksom på at ulike digitale hjelpemidler vil gi ulike svar og at dette påvirker svaret i 2c og 2d. Disse ulike modellene må likestilles ved vurdering.

Sum og integral likestilles her.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2013, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Logistisk vekst, Regresjon, Integrasjon, Modellering

Logistisk modell og regresjon for to firmaer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk modell og regresjon for to firmaer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk modell og regresjon for to firmaer

Logistisk modell og regresjon for to firmaer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer