Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

En bedrift produserer $x$ enheter per dag av en vare. De samlede kostnadene per dag kan beskrives ved funksjonen

K (x) = 1000 + \frac{8000}{1 + 70 \cdot e^{- 0,15 x}} x < 60

Kostnadene er gitt i kroner.

Kalkulator

Tegn grafen til $K$ .

Kalkulator

Vis ved regning at uttrykket for grensekostnaden kan skrives

K^{'} (x) = \frac{84 000 \cdot e^{- 0,15 x}}{{(1 + 70 \cdot e^{- 0,15 x})}^{2}}

Bestem $K^{'} (20)$ og forklar hva dette tallet forteller.

Kalkulator

Undersøk hvilken produksjonsmengde som gir størst grensekostnad. Finn den største grensekostnaden.

Vi går ut fra at hele produksjonen blir solgt, og at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter er

I (x) = 220 x - x^{2}

Oppsett for hånd

Tegn grafen til $I$ i samme koordinatsystem som grafen til $K$ . Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Bedriften eksperimenterer med ulike modeller for inntektsfunksjonen. De tenker seg at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter alltid kan beskrives ved et uttrykk på formen

h (x) = a x - x^{2} der a er en positiv konstant.

Kalkulator

Er det mulig å oppnå overskudd hvis $a = 120$ ? Hva er den minste verdien $a$ kan ha dersom bedriften skal gå med overskudd?

Fasit

Se graf under (blå kurve).

$K^{'} (x) = \frac{84 000 e^{- 0,15 x}}{{(1 + 70 e^{- 0,15 x})}^{2}}$ , og $K^{'} (20) \approx 208 k r / e n h e t$

$x \approx 28 e n h e t e r, K_{\max}^{'} = 300 k r / e n h e t$

$19 e n h e t e r / d a g$ , som gir et overskudd på ca. $1235 kr$

Nei, ikke mulig med $a = 120$ . Minste verdi: $a \approx 145,1$

LøsningsforslagKI-generert

Kostnadsfunksjonen

K (x) = 1000 + \frac{8000}{1 + 70 e^{- 0,15 x}}, x < 60

er en logistisk vekstkurve: den starter i $K (0) = 1000 + \frac{8000}{71} \approx 1112,7$ og vokser mot den vannrette asymptoten $y = 9000$ når $x$ blir stor. I GeoGebra er $K$ tegnet inn sammen med $I$ fra oppgave d):

Graf av K og I

Vi skriver $K$ som en sammensatt funksjon og deriverer med kvotientregelen (indre/ytre-funksjon $u (x) = 1 + 70 e^{- 0,15 x}$ , $u^{'} (x) = - 10,5 e^{- 0,15 x}$ ):

K^{'} (x) = - 8000 \cdot \frac{u^{'} (x)}{u {(x)}^{2}} = - 8000 \cdot \frac{- 10,5 e^{- 0,15 x}}{{(1 + 70 e^{- 0,15 x})}^{2}} = \frac{84 000 e^{- 0,15 x}}{{(1 + 70 e^{- 0,15 x})}^{2}}

Dette bekrefter uttrykket i oppgaven. GeoGebra CAS gir samme resultat, og regner samtidig ut $K^{'} (20)$ :

CAS: derivasjon og K'(20)

Vi finner

K^{'} (20) \approx 207,9 k r / e n h e t

Tolkning: Når bedriften produserer $x = 20$ enheter per dag, øker de samlede kostnadene med omtrent $208 kr$ dersom produksjonen økes med én enhet til. $K^{'} (20)$ er altså grensekostnaden (marginalkostnaden) ved en produksjon på $20$ enheter.

Den største grensekostnaden finner vi der $K^{''} (x) = 0$ , altså i vendepunktet til $K$ . Vi løser $K^{''} (x) = 0$ i CAS:

CAS: Løs K''(x)=0

x = \frac{20}{3} \ln (70)

Deretter regner vi ut $x$ numerisk og setter inn i $K^{'} (x)$ :

CAS: numerisk x og maks K'

x \approx 28,3 \Rightarrow K^{'} (x) \approx 300

Siden $x$ må være et helt antall enheter, gir en produksjon på $x = 28 e n h e t e r$ tilnærmet størst grensekostnad, som da er $K_{\max}^{'} = 300 k r / e n h e t$ .

Overskuddet er $O (x) = I (x) - K (x) = 220 x - x^{2} - K (x)$ . Størst overskudd finner vi der $O^{'} (x) = 0$ , altså der $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ (stigningstallet til inntektskurven er lik grensekostnaden). Fra grafen i a) ser vi at $I$ og $K$ har lik stigning (kurvene ligger nærmest parallelt) rundt $x \approx 18$ – $19$ , markert med punktet $MaksOverskudd \approx (18,55, 1236,5)$ på grafen over.

Siden $x$ må være et helt antall enheter, sammenligner vi $O (18)$ og $O (19)$ :

CAS: O(18) og O(19)

O (18) \approx 1233,6 kr O (19) \approx 1234,6 kr

Overskuddet er størst ved $x = 19$ . Bedriften bør altså produsere og selge $19 enheter per dag$ , noe som gir et overskudd på omtrent $1235 kr$ .

Med $h (x) = a x - x^{2}$ er overskuddet $P (x) = h (x) - K (x)$ . Størst overskudd (for en gitt $a$ ) inntreffer der $P^{'} (x) = a - 2 x - K^{'} (x) = 0$ .

Med $a = 120$ : Vi finner det største overskuddet numerisk (Extremum av $P$ på GeoGebra) og får maksimum i $x \approx 12,6$ , med verdi $P (12,6) \approx - 338 kr$ . Siden det største mulige overskuddet er negativt, er det $ikke mulig å oppnå overskudd når a = 120$ — bedriften vil alltid gå med underskudd.

Minste verdi av $a$ : Overskuddet blir akkurat mulig ( $P_{\max} = 0$ ) når grafen til $h$ tangerer grafen til $K$ , det vil si når

h (x) = K (x) og h^{'} (x) = K^{'} (x)

samtidig, altså $a x - x^{2} = K (x)$ og $a - 2 x = K^{'} (x)$ . Løser vi dette systemet numerisk i GeoGebra, finner vi tangeringspunktet $x \approx 14,31$ og $a \approx 145,07$ . Grafen viser $K$ (blå), $h$ med $a = 120$ (rød, alltid under $K$ ) og $h$ med $a \approx 145,07$ (grønn, tangerer $K$ i det markerte punktet):

Graf: tangering mellom h og K

For at bedriften skal kunne gå med overskudd, må altså $a$ være større enn dette. Den minste verdien $a$ kan ha er dermed

a \approx 145,1

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2010, del 2, oppgave 6-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering

Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer