Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

En bedrift produserer $x$ enheter per dag av en vare. De samlede kostnadene per dag kan beskrives ved funksjonen

$$K(x)=1000+\frac{8000}{1+70\cdot e^{-0{,}15x}} \qquad x<60$$

Kostnadene er gitt i kroner.

a)

Tegn grafen til $K$.

b)

Vis ved regning at uttrykket for grensekostnaden kan skrives

$$K'(x)=\frac{84\,000\cdot e^{-0{,}15x}}{(1+70\cdot e^{-0{,}15x})^2}$$

Bestem $K'(20)$ og forklar hva dette tallet forteller.

c)

Undersøk hvilken produksjonsmengde som gir størst grensekostnad. Finn den største grensekostnaden.

Vi går ut fra at hele produksjonen blir solgt, og at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter er

$$I(x)=220x-x^2$$

d)

Tegn grafen til $I$ i samme koordinatsystem som grafen til $K$. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Bedriften eksperimenterer med ulike modeller for inntektsfunksjonen. De tenker seg at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter alltid kan beskrives ved et uttrykk på formen

$$h(x)=ax-x^2 \qquad \text{der } a \text{ er en positiv konstant.}$$

e)

Er det mulig å oppnå overskudd hvis $a=120$? Hva er den minste verdien $a$ kan ha dersom bedriften skal gå med overskudd?